Однородные координаты и однородные преобразования в робототехнике

Обратная кинематическая задача в управлении манипулятором

Сингулярности ОКЗ

Из формулы для расчета Z₁ видно, что при коллинеарном расположении векторов Z₃ и Z₀ векторное произведение Z₃ х Z₀ становится неопределенным. Это значит, что в этом случае вектор Z₁ может иметь бесчисленное множество значений. Вследствие этого решение ОКЗ также становится неопределенным. Положения ИМ, соотвтствующие таким случаям носят название сингулярных (сингулярные конфигурации кинематической цепи ИМ). При управлении манипуляторами МР предпринимаются специальные меры, исключающие сингулярные конфигурации ИМ.

Необходимость решения ОКЗ возникает в связи с тем, что законы движения манипулятора (ЗУМ манипулятора) чаще всего задают в пространстве декартовых координат, а реальное движение ИМ обеспечивается работой приводов шарниров. Эта задача системы управления тактического уровня.

В ТСУ поступает информация о заданных декартовых координатах ЗУМ. Основываясь на них, а также геометрических параметрах звеньев ИМ при заданных значениях индексов конфигурации призводится расчет заданных координат шарниров.

В робототехнике широкое распространение получили т.н. однородные координаты.

Смысл однородных координат состоит в следующем.

Если t_{i (i)}⁽ⁱ⁾ – вектор координат некоторой точки отнеосительно СК_i, то координаты этой же точки относительно начала координат СК_i-1 , т.е. вектор t_{i (i-1)}^(i-1) может быть вычислен так

t_{i (i-1)}^(i-1) = t_{i-1 i} (t_{i (i)}⁽ⁱ⁾ + L_i⁽ⁱ⁾ ),

Пусть теперь

t _{i (i-1)}^(i-1) = (t_{i (i-1)}^(i-1) 1)^T - вектор, составленный из компонент t_{i (i-1)}^(i-1) , к которым добавлена 1 на месте 4-го элемента.

Аналогично составим 4-мерный вектор t _{i (i)}⁽ⁱ⁾

Составим теперь матрицу (4х4)

^i-1T_i = (t_{i-1 i} t_{i-1 i} L_i⁽ⁱ⁾ )

0 1

Тогда, как нетрудно видеть,

t _{i (i-1)(i-1)} = ^i-1T_i t _{i (i)}⁽ⁱ⁾

и матрица ^i-1T_i задает сразу два преобразования – поворот (матрица t_{i-1 i}) и перенос – вектор t_{i-1 i} L_i⁽ⁱ⁾.

4-мерные векторы вида t _{i (i)}⁽ⁱ⁾, определяющие линейные координаты звеньев, получили название однородных, а матрицы (4х4), вида ^i-1T_i, описывающие преобразование однородных векторов – матрицам однородных пребразований.

Матрицы однородных преобразований позволяют одним действием описать и операции поворота и операции переноса.

С использованием матриц однородных преобразований координаты точки t _{i (i)}⁽ⁱ⁾ относительно инерциальной системы, т.е. t _{i (0)}⁽⁰⁾ можно представить в виде

t _{i (0)}⁽⁰⁾ = t _{i (i)}⁽ⁱ⁾,

причем в матрице ^i-1T_i отдельные элементы имеют вид

_i

⁰T_i = t_0i S t_0j L _j

^j=1

0 1

и образуются в результате перемножения матриц ⁰T₁ ¹T₂ … ^i-1T_i

Полученное выражение для t _{i (0)}⁽⁰⁾ является аналогом выражений

_i

t_i(0)⁽⁰⁾ = t_0i t_i(i)⁽ⁱ⁾ + S t_0j L_j

^{j =1}

_j

t_0j = П t_{k-1 k},

^k=1

и отличается от них более компактной записью (и только!).