Специальные системы координат

Блочные матрицы

Проблема громоздкости развернутых уравнений ИМ МР побудила исследователей к поиску более компактных форм записи. 4х4 – матрицы – одна из таких форм. Другая форма компактной записи – блочные матрицы.

Вернемся к уравнениями раздела 2.1:

_i

t_i(0)⁽⁰⁾ = t_0i t_i(i)⁽ⁱ⁾ + S t_0j (n_j (1-s_j)q_j + l_j)

^{j =1}

Составим блочные векторы

t₍₀₎⁽⁰⁾ = [t₁^Т₍₀₎⁽⁰⁾ t₂ ^Т ₍₀₎⁽⁰⁾ … t_i ^Т ₍₀₎⁽⁰⁾ … t_n ^Т ₍₀₎⁽⁰⁾] ^Т ,

t_(i)⁽ⁱ⁾ = [t₁^Т₍₁₎⁽¹⁾ t₂ ^Т ₍₂₎⁽²⁾ … t_i ^Т _(i)⁽ⁱ⁾ … t_n ^Т _(n)⁽ⁿ⁾] ^Т,

l = [l₁ ^Т l₂ ^Т _… l_i ^Т _… l_n ^Т]^Т.

Введем в рассмотрение вектор

q_j = [q₁ q₂ … q_i … q_n]^Т_,

а также матрицы диагонального вида

s = diag [s₁ s₂ … s_{i …} s_n],

Е = diag [E₃ E₃ … E₃ … E₃],

n = diag [n₁ n_{2 …} n_{i …} n_n],

t₀ = diag [t₀₁ t_{02 …} t_{0i …} t_0n ].

Введем блочную матрицу суммирования

| E₃ 0₃ … 0₃ … 0₃|

U = |E₃ E₃ … 0₃ … 0₃ |,

|E₃ E₃ … E₃ … 0₃|

E₃ E₃ … E₃ … E₃|

где

U – нижняя блочная треугольная матрица,

E₃ – единичная матрица 3х3,

0₃ – нулевая матрица 3х3.

С учетом введенных обозначений выражение для расчета линейных координат звеньев примет вид

t₍₀₎⁽⁰⁾ = t₀ t_(i)⁽ⁱ⁾ + Ut₀ (n (I-s)q + l),

где

I - единичная матрица nхn.

Можно видеть, что блочные матрицы позволяют избежать записи развернутых выражений и, кроме того, исключить явное применение оператора суммирования. Это делает запись уравнений очень компактной.

Денавит и Хартенберг предложили такой способ выбора систем координат, когда:

- этот выбор происходит однозначно,

- число параметров, определяющих взаимное расположение двух смежных СК равно только 4 (вместо 6-7 применяемых в общем случае).

Построение СК Д-Х включает последовательность действий по выбору начал СК и их осей (рис. ниже):

		Xi-1

Рис.2.2. Параметры Денавита-Хартенберга

При использовании СК Д-Х с каждым звеном связаны 4 параметра: d_i, q_i, a_i и a_i.

Эти параметры соответствуют параметрам звена (a_i и a_i) и сочленения (d_i, q_i). Параметры сочленения характеризуют относительное положение смежных звеньев.

Способ выбора СК по Д-Х хорошо формализован и включает 12 действий.

Д1. Формирование базовой СК. Сформировать правую ортонормированную СК₀ , связанную с основанием, направив ось Z₀ вдоль оси 1-го шарнира к плечу манипулятора. Оси X₀ и Y₀ – произвольно, перпендикулярно оси Z₀.

Д2. Начало и цикл. Для всех i (i=1,2,…,n-1) выполнить шаги Д3-Д6.

Д3. Формирование осей сочленений. Направить ось Z_i вдоль оси движения (вращательного или поступательного) i+1 –го сочленения. Для роботов с манипуляторами, имеющими конфигурацию левой-правой руки, оси Z₁ и Z₂ паправлены от плеча и общего направления манипулятора.

Д4. Формирование начала i-й СК. Расположить начало i-й СК на пересечении осей Z_i и Z_i-1 или на пересечении общей нормали к осям Z_i и Z_i-1 с осью Z_i.

Д5. Формирование оси X_i. Выбрать единичный вектор X_i следующим образом: X_i=

+- (Z_i-1 х Z_i)/| Z_i-1 х Z_i | или вдоль общего перпендикуляра к осям Z_i-1 и Z_i, если они параллельны.

Д6. Формирование оси Y_i. Положить Y_i, чтобы образовать провостороннюю СК. (Продолжить оси Z_i и X_i, если это необходимо для шагов Д9 – Д12).

Д7. Формирование СК схвата. Как правило, n-е сочленение является вращательным. Сформировать ось Z_n, направив ее вдоль оси Z_n-1 и от робота.Выбрать ось X_n так, чтобы она быда перпендикулярна осям Z_n-1 и Z_n. Ось Y_n дополняет систему до правой тройки.

Д8. Определение параметров звеньев. Для каждого i (i=1,2,…,n) выполнить шаги Д9-Д12.

Д9. Определение d_i. d_i есть расстояние от начала i-1 СК до пересечения оси Z_i-1 с осью X_i, отсчитываемое вдоль оси Z_i-1. Если i-е сочленение – поступательное, d_i – присоединенная переменная (координата шарнира).

Д10. Определение a_i. a_i – расстояние между пересечением оси Z_i-1 с осью X_i и началом i-й СК, отсчитываемое вдоль оси X_i.

Д11. Определение q_i. q_i – угол, на который нужно повернуть ось X_i-1 вокруг оси Z_i-1, чтобы она стала сонаправлена с осью X_i. Если i-е сочленение – вращательное, то q_i – присоединенная переменная.

Д12. Определение a_i. a_i – угол, на который нужно повернуть ось Z_i-1 вокруг оси X_i, чтобы она стала сонаправлена с осью Z_i.

Как только СК Д-Х сформированы, можно определить и матрицу однородного преобразования СК смежных звеньев:

^i-1T_i = (t_{i-1 i} t_{i-1 i} L_i⁽ⁱ⁾ )

0 1,

причем t_{i-1 i} = t^T_z(s_iq_i) t^T_x(a_i) – матрица преобразования поворота СК смежных звеньев,

t_{i-1 i} L_i⁽ⁱ⁾ = L_i^(i-1) = e_i (1-s_j)q_j + t^T_z(s_iq_i) t^T_x(a_i) (a_i 0 0)^T =

e_i (1-s_j)q_j + t^T_z(s_iq_i) (a_i 0 0)^T .