Функции Y,удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.
Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются собственными значениями.
В качестве примера определим y и Е для свободной частицы.
Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е. . Следовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю. Таким образом, в случае свободного движения частицы, ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость . Направим ось Х вдоль вектора . Тогда (22) можно записать в виде
. (23)
Прямой подстановкой можно убедится, что частным решением этого уравнения является функция y(х)=Аexp(ikx), где А=сonst, k=const c собственным значением энергии
Е=. (24)
C учетом (21) волновая функция
Y(х)=Аexp(-iwt+ ikx)= Аexp[-(i/)(Еt- рxх)]. (25)
здесь w=Е/, k=рx/.
Функция (25) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [cм. (16)].
Из (24) следует, что зависимость энергии от импульса
Е=2k2/(2m)=Рх2/(2m)=m v 2/2 (26)
оказывается обычной для нерелятивиских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.
Плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства
çy÷ 2=yy*=A2,
т.е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.
9.6. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»
Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида
При таком условии частица не проникает за
пределы "ямы", т.е. y(0)= y(l)=0. (27)
В пределах ямы (0<x<l) уравнение (22) сведется к уравнению
или , (28)
где k2=. Общее решение (28) y(х)=Аsinkx+Bcoskx. (29)
Так как согласно (27) ψ(0)=0, то В= 0, тогда y(х)=Аsinkx. (30)
Условие (27) y(l)=Аsinkl=0 выполняется только при kl=pn, где n=1,2... целые числа, т.е. необходимо, чтобы k=pn/l. (31)
Из (29) и (31) следует, что (32)
Таким образом, энергия в «потенциальной яме» принимает лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни, называется главным квантовым числом.
Заметим, что n=1 cоответствует минимальная энергия Е1¹0.
Подставив в (30) значения k из (31), найдем собственные функции
.
Постоянную А найдем из условия нормировки (18), которое для данного случая имеет вид
.
В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид
(33)
Графики этих функций, соответствующие уровням энергии при n= 1, 2, 3, приведены на рис. 5 (а). На рис. 5 (б) изображены плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы
Из рис. следует, что, например, в квантовом состоянии с n= 2 частица не может находится в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траектории частицы в квантовой механике несостоятельны.