Свободный электрон. Фазовая и групповая скорости

12 13 14 15 16 17 18

Если считать частицу свободной и движущейся по оси x, то U (x) = 0, уравнение Шредингера (2.14) примет вид

, (2.18)

где k = 2 π / λ – волновой вектор электрона;

E = p ²/2 m = ћ ² k ²/2 m – его энергия.

Решением уравнения (2.18) будет функция

ψ = ψ ₁ + ψ ₂ = A exp(ikx) + B exp(- ikx), (2.19)

где А и В – постоянные коэффициенты.

С учетом (2.17) общее решение уравнения Шредингера будет иметь вид

Ψ(x, t) = A exp[ i (kx - ωt)] + B exp[- i (kx + ωt)]. (2.20)

Последнее уравнение выражает суперпозицию двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Для частицы, движущейся по оси x, B =0. Для частицы, движущейся в противоположном направлении, A =0.

Для трехмерного случая решением уравнения Шредингера будет являться выражение

Ψ = , (2.21)

где – радиус-вектор точки фронта волны.

Энергия свободной частицы будет равняться

, (2.22)

для трехмерного случая

, (2.23)

где k_x, k_y, k_z – проекции волнового вектора на оси координат.

Выражения (2.22) и (2.23) показывают, что функция E (k) является непрерывной, т.е. энергетический спектр свободного электрона сплошной (рис. 2.1, а).

Поскольку микрочастица связана с плоской волной, имеет смысл рассмотреть вопрос о ее фазовой и групповой скоростях (п. 1.3).

В уравнении плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, величина φ представляет собой фазу волны.

φ = k ∙ x - ω ∙ t, (2.24)

Напомним, что фазовая скорость υ_ф – это скорость участка волны с постоянной фазой. Дифференцируя (2.24) с учетом постоянства фазы получим

. (2.25)

Подставляя в (2.25) значения ω и k, можно записать

. (2.26)

Анализ последнего выражения показывает, что фазовая скорость волн де Бройля зависит от их длины, т.е. имеет место эффект дисперсии.

Как отмечалось выше, в реальном случае частица представляет собой не монохроматическую волну, а волновой пакет, образованный двумя или более волнами, имеющими близкие значения длин и волновых векторов. Скорость этого пакета, групповая скорость J_гр

. (2.27)

Подставив в последнее выражение значение k = mJ / ћ и производной d ω /d k = ħk / m, получим:

J_гр = J.

Последнее выражение показывает, что групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

В заключение рассмотрим вероятность нахождения свободного электрона в пространстве. Подставим в (2.8) выражение для плоской волны и получим w =const (рис. 2.1, б).

Это означает, что вероятность нахождения свободного электрона не зависит от координаты.