2014-02-02
4308
Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися.
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
(1)
где 
(т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернулли).
Теорема 1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (1) сходится, если:
1). Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е. 
2). Общий член ряда стремится к нулю: 
При этом сумма S ряда (1) удовлетворяет неравенствам
(2)
Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа 
членов ряда (1). Имеем
.
Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма 
и возрастает с возрастанием номера 
.
С другой стороны, 
можно переписать так:
.
Легко видеть, что 
Таким образом, последовательность 
…,
… возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел 
причем
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа 
членов ряда (1). Очевидно, что 
Отсюда следует, что
|
|
|
т. к. 
в силу второго условия теоремы.
Вывод: Итак, 
как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд (1) сходится, причем
Замечания.
1. Исследование знакочередующегося ряда вида
(3)
(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (1).
2. Соотношение (2) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой Sn. Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд 
, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е. 
. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.
Ряды (1) и (3), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).
Пример 1. Вычислить приблизительную сумму ряда 
Решение. Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать: 
Взяв пять членов, т. е. заменив S на
сделаем ошибку, меньшую, чем 
Итак, 
