double arrow

Признак Даламбера


В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717-1783, французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема 3. Пусть дан ряд с положительными членами

(6)

и существует конечный или бесконечный предел Тогда ряд сходится при и расходится при

Так как , то по определению предела для любого найдется натуральное число N такое, что при выполняется неравенство

или . (7)

Пусть Можно подобрать так, что число Обозначим Тогда из правой части неравенства (7) получаем , или В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что для всех n = 1, 2, 3, … . Давая номеру n эти значения, получим серию неравенств:

…………………

………………….

т. е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд (6).

Пусть В этом случае Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство , или , т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому На основании следствия из необходимого признака ряд (6) расходится.




Замечания.

1). Если , то ряд (6) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2). Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида или .

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение: Находим

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение: Вычисляем

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера расходится.







Сейчас читают про: