2014-02-02
3308
В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717-1783, французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.
Теорема 3. Пусть дан ряд с положительными членами
(6)
и существует конечный или бесконечный предел 
Тогда ряд сходится при 
и расходится при 
Так как 
, то по определению предела для любого 
найдется натуральное число N такое, что при 
выполняется неравенство
или 
. (7)
Пусть 
Можно подобрать 
так, что число 
Обозначим 
Тогда из правой части неравенства (7) получаем 
, или 
В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что 
для всех n = 1, 2, 3, …. Давая номеру n эти значения, получим серию неравенств:
…………………
………………….
т. е. члены ряда 
меньше соответствующих членов ряда 
, который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 
Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд (6).
|
|
|
Пусть В этом случае 
Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство 
, или 
, т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому 
На основании следствия из необходимого признака ряд (6) расходится.
Замечания.
1). Если 
, то ряд (6) может быть как сходящимся, так и расходящимся.
2). Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида 
или 
.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд 
Решение: Находим
Так как 
, то данный ряд по признаку Даламбера сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда 
Решение: Вычисляем
Так как 
, то данный ряд по признаку Даламбера расходится.
