Признаки Коши

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировка и доказательство.

Теорема 4. Пусть дан ряд (6) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел Тогда ряд сходится при и расходится при

Как и для признака Даламбера, в случае, когда , вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Даламбера. Поэтому опустим его.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: Так как

= ,

то применим радикальный признак Коши к ряду

.

Вычисляем

Ряд сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству 1 числовых рядов.

Теорема 5. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1; +) функции f(x) так, что , то:

1) если сходится, то сходится и ряд (6);

2) если расходится, то расходится также и ряд (6).

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции основанием которой служит отрезок оси 0 х от до (рис. 1).

Рис. 1

Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2], [2;3], …. Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:

или

или

. (8)

Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т. е. = А. Поскольку , то с учетом неравенства (8) имеем: , т. е. . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд (6) сходится.

Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда и интегралы неограниченно возрастают при Учитывая, что (см. неравенство (8)), получаем, что

Следовательно, данный ряд (6) расходится.

Замечание. Вместо интеграла можно брать интеграл , где Отбрасывание k первых членов ряда в ряде (6), как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд

Решение: Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция удовлетворяет условиям теоремы 5. Находим

Значит, ряд с общим членом расходится.

Ряд

(9)

где – действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом.

Для исследования ряда (9) на сходимость применим интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают).

Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и При имеем:

При имеем гармонический ряд , который расходится (второй способ: ). Итак, ряд (9) сходится при , расходится при . В частности, ряд сходится (полезно знать).

Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практике.