Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез)

1 2 3

Пусть событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез):

В₁, В₂,...,В_n.

Известны априорные вероятности гипотез:

Р(В₁), Р(В₂),...,Р(В_n),

и условные вероятности:

Р_В1(А), Р_В2(А),...,Р_В_n(А_n)

Тогда полная, или средняя вероятность, события А определяется следующей формулой

Доказательство. Событие А может произойти только либо с В₁, либо с В₂,... либо с Вn:

А = А·В₁ + А·В₂ +... + А·Вn

Р(А) = Р(А·В₁) + Р(АВ₂) + Р(А·Вn) =

= Р(В₁)Р_В1(А) +...+ Р(В_n)Р_В_n(А) = Р(В_i)Р_В_i(А), следовательно формула справедлива.

Задача. Завод изготавливает изделия, каждое из которых может работать в одном из трех режимов. Известно, что 20% изделий, выпускаемых заводом, будут работать в I режиме (в Заполярье); 75% – во II режиме (в средней полосе); 5% – в III режиме (в пустыне).

Вероятность безотказной работы изделия в I режиме 0,9, во II – 0,99; в III – 0,8. Необходимо определить, сколько процентов изделий нужно выпустить дополнительно к плану для замены отказавших изделий.

Примечание. Будем предполагать, что при замене изделий, они не отказывают.

Решение.

Найдем вероятность отказа изделия

Обозначим события: А – безотказная работа изделия;

В₁ – изделие работает в I режиме;

В₂ – изделие работает в II режиме;

В₃ – изделие работает в III режиме;

Р(В₁) = 0,2 Р_В1(А) = 0,9

Р(В₂) = 0,75 Р_В2(А) = 0,99

Р(В₃) = 0,05 Р_В3(А) = 0,8

Р(Ā) –? т.к. Р(Ā)·100% — искомое решение.

Р(А) = Р(В_i)Р_В_i(А) = 0.2·0.9 + 0.75·0.99 + 0.05·0.8 =0.18 + 0.7425 + 0.04 =