Формула Бейеса

Пусть событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез):

В₁, В₂,..., В_n.

Известны априорные (доопытные) вероятности гипотез:

Р(В₁), Р(В₂),..., Р(В_n)

и условные вероятности

Р_В1(А), Р_В2(А),..., Р_Вn(А).

Известно также, что в результате опыта событие А произошло, тогда апостериорная (послеопытная) вероятность каждой i-ой гипотезы определяется следующей формулой:

Эта формула называется формулой Бейеса или теоремой гипотез.

Доказательство.

Найдем вероятность произведения двух событий А и В_i

Р(А·В_i) = Р(А)·Р_А(В_i)

Р(А·В_i) = Р(В_i)· Р_Вi(А)

Р_А(В_i) = (Р(В_i) Р_Вi(А))/Р(А) =

Задача. Пусть система состоит из двух последовательно соединенных элементов, надежности которых заданы.

р₁ = 0.9

р₂ = 0.95

В результате испытания стало известно, что система отказала. Найти вероятность того, что отказал 1-ый элемент, а второй – исправен.

Решение. Обазначим события:

В₀ – оба элемента исправны.

В₁ – 1-ый отказал, 2-ой исправен.

В₂ – 1-ый исправен, 2-ой отказал.

В₃ – оба отказали.

А – отказ системы.

Р(В₀) = р₁· р₂ = 0.9· 0.95 = 0.855 Р_В0(А) = 0

Р(В₁) = (1 – р₁)р₂ = 0.1· 0.95 = 0.095 Р_В1(А) = 1

Р(В₂) = р₁(1 – р₂) = 0.9· 0.05 = 0.045 Р_В2(А) = 1

Р(В₃) = (1 – р₁)(1 – р₂) = 0.1· 0.05 = 0.005 Р_В3(А) = 1

Р_А(В₁) = =

= 0.095·1/(0.855·0 + 0.095·1 + 0.045·1 + 0.05·1) = 0.095/0.145» 0.655