Пусть производится n опытов в каждом из которых может произойти некоторое событие А

Формула Бернулли.

Опыты называются независимыми, если вероятность появления события А в любом опыте не зависит от исходов других опытов.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может произойти некоторое событие А. Вероятность появления события А в каждом опыте одинакова и равна р. Тогда вероятность того, что в n опытах событие А произойдет ровно m раз определяется по формуле:

Эта формула называется формулой Бернулли.

Вывод формулы.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит m раз и не наступит n – m раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p^mq^{n – m} (где q – вероятность того, что событие А не наступит в результате одного испытания, q = 1 – p). Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по m элементов, т. е. C_n^m. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления m раз события A в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число.

В_m – событие А произошло m раз в n испытания.

В_m=А·А·А...А Ā·Ā·...·Ā + А·А·А... ·А· Ā·Ā·Ā… Ā·А +Ā·Ā·Ā...·Ā А А... А

Р(В_m) = С_n^mр^m (1 – р)^n-m

Р_n(m) = Р(В_m)

Задача. Для контроля отобрано 5 изделий. Вероятность дефекта в каждом изделии 0.01. определить вероятность того, что в двух из отобранных изделий окажется дефект.

Р₅(2) = С₅² · 0.01²(1 – 0.01)³ = 5!/(3!2!) · 0.0001·0.99³ =

= 0.001·0.99³ = 0.099³ = 0.00097

Задача. Вероятность появления события А в одном опыте равна 0.9. Найти вероятность того, что в 15 независимых опытах событие А произойдет 7 раз.

Р₁₅(7) = С₁₅⁷р⁷(1 – р)⁸ = 15!/(8!7!) · 0.9⁷ · 0.1⁸ =

= 3 · 11 · 13 · 15 · 0.9⁷ · 0.1⁸ = 0.000030778