Элементарная волна

Хороший способ познакомиться с понятием элементарной волны (wavelet) — срав­нение с представлением функции в виде ряда Фурье. Любая периодическая функ­ция одной переменной g(x) может быть представлена в виде ряда Фурье:

Здесь f₀ представляет собой величину, обратную периоду функции (f₀ = 1/T). Частота f₀ называется основной частотой (fundamental frequency) или основной гармоникой (fundamental harmonic). Кратные f₀ частоты называют гармониками (harmonics). Таким образом, периодическая функция с периодом T может быть представлена как сумма синусоид с частотами, кратными частоте f₀ = 1/T. Как пра­вило, разложение в ряд Фурье применяется к функции времени (то есть аргумент х соответствует времени), но эта операция также применима и к пространствен­ной функции, что уместно при обработке изображений. По существу, ряды Фурье показывают, что любая периодическая функция может быть полностью описана суммой синусоид с частотами, кратными основной частоте. Говорят, что ряды Фурье представляют функцию в области частот, тогда как оригинальная функ­ция определена во временной области или в пространстве в зависимости от того, относится аргумент х ко времени или к пространству.

Используемые при разложении в ряд Фурье коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

Таким образом, по представлению функции в виде ряда Фурье легко восстано­вить ее временную или пространственную форму. Непериодическая функция тоже может быть представлена в области частот при помощи преобразования Фурье. В этом случае вместо суммы дискретных гармо­ник функция представляется в непрерывном диапазоне частот в виде частотного спектра. Однако основные принципы здесь те же. Преобразование Фурье также обратимо, то есть можно по частотному спектру функции получить ее временное или пространственное представление.

Понятие представления Фурье можно распространить на двумерные функции и в таком виде использовать для обработки изображений.

Анализ Фурье представляет собой мощный инструмент, позволяющий решать многие проблемы, которые очень сложно решать другими методами. Коэффици­енты Фурье можно вычислять, хранить, передавать и использовать для восстановления исходного сигнала или функции. При решении многих проблем значитель­но проще оперировать коэффициентами Фурье (в области частот), чем исходной функцией (во временной или пространственной области).

Однако анализ Фурье плохо подходит для работы с функциями, определенны­ми на коротком интервале аргумента (в отличие от функций, заданных в диапазоне (-∞ ≤ х ≤ ∞), а также с функциями, значение которых резко и значительно изме­няется. Такими характеристиками обладают изображения, имеющие ограничен­ную протяженность в пространстве и, как правило, содержащие резкие края или области с резко изменяющимися характеристиками. Для обработки таких изобра­жений, а также для многих других целей анализ элементарных волн подходит луч­ше, чем анализ Фурье.

Как представление Фурье, волновое представление включает суммирование нескольких элементарных функций. В анализе Фурье в качестве элементарной функции используется синусоида, заданная на всей вещественной оси. В волновом анализе элементарной функцией является элементарная волна, представляющая собой функцию, отличную от нуля только на конечном отрезке значений аргумен­та и равную нулю для всех остальных значений аргумента. Функция представляется в виде суммы элементарных волн, каждая из которых, в свою очередь, представляет собой растянутую или суженную единичную элементарную волну, называемую материнской элементарной волной (mother wavelet). Путем анализа элементарных волн может быть осуществлено волновое преобразование сигнала, протяженного во времени, или изображения, в результате которого можно получить соответству­ющие коэффициенты. Как и в случае анализа Фурье, эти коэффициенты позволя­ют упростить обработку сигнала или изображения. Простейшая элементарная волна, применяемая в волновом анализе, называет­ся элементарной волной Хаара (Нааг wavelet) и определяется следующим образом:

На рис. 10.5 показаны некоторые из этих элементарных волн Хаара. Обратите внимание на то, что с увеличением параметра j элементарная волна становится бо­лее короткой, то есть частота элементарной волны растет. Параметр k сдвигает эле­ментарную волну по оси х (во времени или в пространстве).

Рис. 10.5. Элементарные волны Хаара

Волновое представление позволяет использовать так называемый анализ с переменным разрешением (multiresolution analysis). Сжатые версии базовой эле­ментарной волны, сдвинутые в соответствующие области сигнала или изобра­жения, могут представлять высокочастотные составляющие. Несжатые версии базовой элементарной волны соответствуют низкочастотным, медленно из­меняющимся компонентам. Добавляя все более сжатые элементарные волны, можно представлять сигнал или изображение с произвольной степенью разре­шения или точности. Более того, подобное представление с переменным разреше­нием может найти очевидное применение для сжатия и прогрессивного преоб­разования:

· Изображение можно сжать, отбросив коэффициенты с относительно не­ большими значениями. В результате будут отброшены элементарные вол­ны, вклад которых в формирование изображения невелик.

· Передачу изображения по сети можно начинать с низкочастотных компо­нентов. По мере приема более высокочастотных компонентов к изображе­нию будет добавляться все больше деталей, а разрешение изображения бу­дет увеличиваться, то есть изображение будет становиться четче.