2014-02-02
423
В разделах дифференциального и интегрального исчислений мы имеем дело с функциями одного переменного. На практике часто приходится иметь дело с функциями двух, трех и большего числа переменных. Такие функции называются функциями многих переменных. Примером такой функции является производственная функция Кобба-Дугласа
где 
есть величина выпуска продукции, а 
и 
обозначают объемы затраченных ресурсов труда и капитала соответственно.
Приведем еще примеры функций 
и 
переменных:
2. -мерное пространство Rn
Определение. Пусть 
. Будем называть R n следующее множество упорядоченных наборов действительных чисел:
Сами упорядоченные наборы 
будем называть точками 
, а числа 
, где 
, будем называть координатами этой точки.
Часто для удобства точки Rn будем обозначать так: 
или 
или 
или 
и т. д.
В пространстве Rn вводится расстояние между точками 
по формуле
(1)
Замечание. При 
и 
равенство (1) представляет известные формулы расстояния между точками на плоскости и в пространстве.
Приведем без доказательства основные свойства расстояния в Rn:
1) 
2)
3)
Замечание. Пространство Rn можно рассматривать и как векторное пространство. В этом случае упорядоченный набор чисел 
называется вектором пространства Rn. Векторы обычно обозначают строчными латинскими буквами: 
или 
, или другими буквами. Нулевым вектором называют вектор 
В векторном пространстве Rn вводятся операции сложения векторов и умножение векторов на число. Пусть 
и 
Тогда
1)
2)
Векторное пространство Rn с операциями сложения и умножения на число называют также линейными или евклидовым пространством.
Определение. Длиной или нормой вектора называется число
Для нормы вектора справедливы следующие свойства:
1)
2)
3)
Определение. Скалярным произведением векторов и 
называют выражение
Не трудно доказать следующие свойства скалярного произведения:
1) 
2) 
3) 
Определение. Пусть 
Функцией переменных называется отображенные 
Значение функции 
записывается в виде
где 
При этом множество 
называется областью определения функции и обозначается 
Замечание. Функцию n переменных можно записывать в привычном виде 
где 
