Булева алгебра. Функциональная полнота

Определение. Алгеброй над множеством логических функций с двумя бинарными операциями, обозначаемыми как логическое умножение ‘ & ‘ и логическое сложение ’v ’ и одной унарной операцией (отрицанием)

' Ø ‘ называется булевой алгеброй.

Будем обозначать ее символом S_B. Рассмотрим свойства булевой алгебры.

1. Замкнутость

для " A и B Î S_B

A v B Î S_B

A & B Î S_B

2. Коммутативность

A & B = B & A

A v B = B v A

3. Ассоциативность

A v (B v C) = (A v B) v C

4. Дистрибутивность

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

5. Идемпотентность

A v A = A & A = A.

6. Булева алгебра содержит элементы 0,1 такие, что для всякого

элемента A Î S_B справедливо:

A v 0 = A, A v 1 = 1

A & 0 = 0, A & 1 = A.

7. Для каждого элемента A Î S_B существует элемент , такой что

A v =1

A & =0.

8. Закон поглощения

A & (A v B) = A v A & B = A.

9. Закон Де Моргана

Ø ( A v B) = Ø A & Ø B

Ø ( A & B) = Ø A v Ø B.

Определение. Система функций f₁, f₂... f_n Î S_B называется полной, если любая функция j из S_B представима в виде суперпозиции функций f₁, f₂... f_n.

Определение. Система функций f₁, f₂... f_n Î S_B, являющаяся полной, называется базисом.

Определение. Минимальным базисом называется базис, для которого удаление хотя бы одной из функций f_i превращает систему функций в неполную.

Можно показать, что системы функций { &, Ø} и { Ú, Ø} - полные. Система функций { &, Ø, Ú} является полной, но избыточной, так как она сохраняет свойства полноты и при удалении из нее & или Ú. За не избыточность системы функций { &, Ø} и { Ú, Ø} приходится платить избыточностью формул (повышением сложности функций).

Определение. Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями & и Å называется алгеброй Жегалкина.