Среднедневная реализация, тыс. руб

Квартал	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год
I
II
III
IV

Для выявления основной тенденции развития методом скользящей средней прежде всего устанавливаются ее звенья. Звенья должны составляться из числа уровней, отвечающих длительности внутригодовых циклов в изучаемом явлении.

Для ряда динамики, отображающего развитие явления по кварталам, скользящие средние обычно составляются из четырехчленных звеньев. Их расчет состоит в определении средних величин из четырех уровней ряда с отбрасыванием при вычислении каждой новой скользящей средней одного уровня слева и присоединением одного уровня справа:

и т.д.

В нашем примере исчисляются 13 скользящих средних (табл. 4.1, гр. 3).

Для четного числа уровней каждое значение скользящей средней приходится на промежуток между двумя смежными кварталами. Так, первая скользящая средняя (265,25) записывается между II и III кварталами, вторая (283,25) - между III и IV кварталами и т.д. Для определения сглаженных уровней производится центрирование (с). Для III квартала определяется серединное значение между первой и второй скользящими средними: (265,25 + 283,25): 2 = 274,25 тыс. руб., для IV квартала центрируются вторая и третья скользящие средние:

(283,25 + 292): 2 = 287,6 тыс. руб. и т.д.

Полученные значения сглаженных уровней помещены гр. 4 табл. 4.1. Из их графического изображения отчетливо видна основная тенденция развития (рис. 3)

При применении метода скользящей средней в ряду динамики месячных уровней рассчитываются 12-членные скользящие средние: и т.д. с последующим центрированием полученных значений. Таблица 4.1

Год, квартал	Исходные уровни yi	Скользящие средние yc	Сглаженные уровни с центрированием yцентр
1-й год
1 кв.		-	-
II кв.		1061:4=265,25	-
III кв.		1133:4=283,25	274,25
IV кв.		1168:4=292,0	287,6
2-й год
1 кв.		1208:4=302,0	297,0
II кв.		1252:4=313,0	307,5
III кв.		1425:4=356,25	334,6
IV кв.		1568:4=392,0	374,1
3-й год
1 кв.		-	402,9
II кв.		1655:4=413,75	421,0
III кв.		1713:4=428,25	429,0
IV кв.		1719:4=429,,25	430,75
4-й год
1 кв.		1727:4=431,75	435,37
II кв.		1756:4=439,0	446,62
III кв.		1817:4=454,25	-
IV кв.		-	-

Если при сглаживании рядов динамики звенья скользящей средней составляются из нечетного числа уровней, то необходимость в центрировании отпадает.

m- число уровней в звене

Метод укрупнения интервалов и скользящей средней позволяет выявить тенденцию развития, но получать обобщенную статистическую оценку тренда данные методы не позволяют. Решение этой задачи - достигается методом аналитического выравнивания.

Метод аналитического выравнивания в рядах динамики заключается в том, что основная тенденция развития рассчитывается как функция времени

(1)

Определение теоретических (расчетных) уровней у₁ производится на основе так называемой адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики.

Подбор адекватной функции осуществляется методом наименьших квадратов - минимальностью отклонений суммы квадратов между теоретическими у_{ и эмпирическими у_i уровнями:

(2)

Т.е. необходимо подобрать математическую функцию, по которой рассчитываются теоретические уровни тренда. От правильного выбора функции зависят выводы о закономерностях тренда, а также по трендовой модели можно делать прогноз о дальнейшем развитии явления.

В практике статистического изучения тренда различают следующие эталонные типы развития социально-экономических явлений во времени:

1) равномерное развитие. Для этого типа динамики присущи постоянные абсолютные приросты:

(2)

Основная тенденция развития здесь отображается уравнением прямолинейной функции:

(3)

где а₀ и а₁- параметры уравнения; t - обозначение времени.

Параметр а₁ является коэффициентом регрессии, определяющим направление развития. Если а₁ > 0, то уровни ряда динамики равномерно возрастают, а при а₁ < 0 происходит их равномерное снижение;

2) равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Этому типу динамики свойственно постоянное во времени увеличение (замедление) развития. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными темпами прироста:

(4)

Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными темпами прироста отображается функцией параболы второго порядка:

(5)

В формуле (5) значения параметров а₀ и а₁ идентичны параметрам, используемым в формуле (3). Параметр а₂ характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени). При а₂ > 0 происходит ускорение развития, а при а₂< 0 идет процесс замедления роста.

3) развитие с переменным ускорением (замедлением). Для этого типа динамики основная тенденция развития выражается функцией параболы третьего порядка:

(6)

В уравнении (6) параметр а₃ отображает изменение ускорения. При а₃ > 0 ускорение возрастает, а при а₃ < 0 ускорение замедляется;

4) развитие по экспоненте. Этот тип динамики характеризуют стабильные темпы роста:

Tр_ц = сопst. (9.30)

Основная тенденция в рядах динамики с постоянными темпами роста отображается показательной функцией:

(7)

где а ₁ - темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т.е. интенсивность развития;

5) развитие с замедлением роста в конце периода. У этого типа динамики показание цепного абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики:

(8)

Основная тенденция развития в таких рядах динамики выражается полулогарифмической функцией:

(9)

При аналитическом выравнивании в рядах динамики можно применить и другие математические функции. Так, при изучении основной тенденции неудовлетворенного и реализованного спроса населения применяются:

степенная функция - (10)

функция гиперболы - (11)

Для подтверждения гипотезы о возможном типе развития можно использовать графический метод, который позволяет наглядно изобразить ряд динамики, но дать обобщенную статистическую оценку выявленного тренда графический метод не может.

Для выбора адекватной математической функции определяют стандартизованную ошибку аппроксимации

=min

При этом за наиболее адекватную принимается та функция, у которой стандартизованная ошибка аппроксимации наименьшая

Для определения параметров математических функций при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы = 0. При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают его за условное начало отсчета времени с интервалом + \ всех последующих уровней и - 1 всех предыдущих 1 уровней. Например, при п - 5 обозначения времени будут: - 2, - 1, 0, + 1, + 2. При четном числе уровней, например п - 6, порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: - 1, - 3, - 5, а нижней половины ряда обозначаются: + 1, + 3, + 5. При использовании способа условного обозначения времени, когда = 0, параметры математических функций определяются по формулам:

а) для прямолинейной функции

б) для показательной функции

в) для параболы второго порядка

г) для параболы третьего порядка

Пример. По данным об объеме оказанных услуг в регионе (табл.) нужно произвести синтезирование трендовой модели объема услуг.

Год	Объем оказанных услуг, млрд. руб.	Темп роста по годам, %	Абсолютный прирост по годам, млрд. руб.
	16,4	-	-
	16,9	103,5	0,5
	17,8	105,3	0,9
	18,3	102,8	0,5
	19,1	104,4	0,8
В среднем	17,7	103,9	0,67

Разнохарактерность изменений годовых темпов роста (103,5 < 105,3 > 102,8 < 104,4) и значительная колеблемость цепных абсолютных приростов (от 0,5 до 0,9 млрд. руб.) затрудняют определение типа динамики объема услуг

Для решения поставленной задачи, прежде всего в порядке первого приближения, намечаются типы функций, которые могут отобразить имеющиеся в ряду динамики изменения. В помощь этому исходные данные табл. изображаются графически (рис.).

Из характера размещения уровней анализируемого ряда динамики на поле графика (рис.) можно сделать предположение о возможном применении тренда при аналитическом изучении ряда математических функций. Это может быть и уравнение прямолинейной функции, и уравнение показательной кривой, и уравнение параболы второго порядка, и уравнение параболы третьего порядка. Для выбора наиболее адекватной из них следует осуществить сравнительный анализ тренда исходных данных способом перебора решений по намеченным математическим функциям.

Для определения параметров составляется матрица с необходимыми расчетными значениями (табл.1).

По итоговым данным табл. 1 определяются параметры уравнения прямолинейной функции

по формуле параметр а₀= 88,5: 5 = 17,7;

по формуле параметр а₁ = 6,8: 10 = 0,68.