Принятие решения В условиях риска

Построение математической модели задачи принятия решения сводится к заданию функции выигрыша F. Формально функция выигрыша есть функция двух переменных х и у, но эти переменные входят в нее неравноправно, что является отражением неравноправия управляющей системы и среды. Дело в том, что управляющая система имеет цель, поэтому ее поведение носит целенаправленный характер; в то же время среда (которую можно рассматривать как обобщенный аналог природы), цели не имеет, и ее поведение носит недетерминированный характер. Если в этой недетерминированности имеются какие-то закономерности, они являются закономерностями стохастического типа. В общем случае это обстоятельство проявляется в том, что существует некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой появляются те или иные состояния среды. В том простейшем случае, который мы рассматриваем, множество состояний среды Y является конечным, и в этом случае задание вероятностной меры на

множестве Y сводится к заданию вероятностного вектора

m

y 0 = (y 01 ,...,y 0 m),

где

y 0 j

≥ 0,

∑ y 0 j

j = 1

=1;

при этом

y 0 j

есть вероятность появления состояния j.

Вектор y 0

называется априорным распределением вероятностей на

множестве состояний природы.

Предположим, что управляющей подсистеме (игроку) известен

вероятностный вектор y 0, то есть для каждого возможного состояния среды известна вероятность его наступления. В этом случае говорят, что принятие решения происходит в условиях риска. Пусть функция выигрыша задана в виде матрицы A=(aij). При принятии решения в условиях риска игрок,

выбирая стратегию i, получает выигрыш aij с вероятностью

y 0 j

(j =1,…, m).

Таким образом, исходом, соответствующим выбору стратегии i, является случайная величина, распределение которой задано следующим рядом:

ξ i	ai 1	…	ai j	…	ai m
P	y 01		y 0 j		y 0 m

Взяв в качестве числовой оценки i -й стратегии математическое ожидание случайной величины ξ i, получаем следующий

КРИТЕРИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ М. В задаче принятия решения в условиях риска в качестве оценки стратегии i выступает математическое ожидание соответствующей ей случайной величины ξ i. В явном виде.

M(i) =

m

∑

j = 1

0 j

ay.

ij

В соответствии с этим правилом оптимальная стратегия игрока i0

находится из условия

M(i) =

max

M (i)

или

m

j

∑ ai y 0 j =

max

m

∑ aij y 0 j.

1 ≤ i ≤ n

j = 1 0

1 ≤ i ≤ nj = 1

Как известно из теории вероятностей, математическое ожидание М(i) представляет собой величину, к которой будет приближаться средний выигрыш игрока при выборе им стратегии i с ростом числа испытаний, то есть при многократном повторении игры (в предположении, что условия игры сохраняются, т.е. вероятность наступления состояний среды остается одной и той же). Стратегия i0, определяемая из данного условия, называется

байесовской стратегией для априорного распределения

y, а подход к

решению игр с природой, основанный на критерии М - байесовским подходом.

Очевидно, в основе каждого из рассмотренных в этой и предыдущей главах критериев лежит некоторое, и достаточно сильное, упрощение ситуации. Выбор же критерия лежит за рамками теории игр. Теория принятия

решений дает рекомендации лишь для определенного критерия. Было бы неразумно принимать решение, не обосновав применение какого-то одного критерия. Потому в случае, когда нет весомых причин использовать

определенный критерий (нет гипотез о поведении среды) желательно (хотя бы и в учебных целях) подсчитать значения нескольких критериев и проинтерпретировать полученные результаты. Достаточно важной является

теория принятия решения в условиях риска с проведением эксперимента. Эксперимент, исходы которого стохастически связаны с состояниями природы, может положительно повлиять на правильность решения. Эта теория не рассматривается в данном пособии.

Пример 2.1. Режим проверок наличия вируса.

При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять ЭВМ на наличие в ней вирусов.

Приостановка в обработке информации приводит к определённым экономическим издержкам. Если же вирус не будет вовремя обнаружен, возможна потеря и некоторой части информации, что приведёт к ещё

большим убыткам.

Варианты решения таковы:

Е 1 – полная проверка; Е 2 – минимальная проверка; Е 3 – отказ от проверки.

ЭВМ может находиться в следующих состояниях:

F 1 – вирус отсутствует; F 2 – вирус есть, но он не успел повредить информацию; F 3 – есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.

Затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанные с

восстановлением информации (A = (ai

j), i =1,..,3,

j =1,..,3) приведены в

первых трех столбцах таблицы 2.1. По этим значениям

aij

рассчитываются

значения критериев Вальда, Лапласа, Гурвица (максимальные значения критериев выделены полужирным шрифтом).

∑

L( 1 ) = 1 3 a

= − 20− 22 − 25 ≈ −22.33.

3 j =1 1 j 3

V (1) =

min

1≤ j ≤3

a 1 j

= min{−20,−22,−25} = −25.

α = 0.2 ⇒

G (1) =α

min

a 1 + (1−α)

max

a 1 j =

1≤ j ≤ 3 j

1≤ j ≤ 3

= 0.2 ⋅ (−25)+ 0.8⋅ (−20)= −21.

α = 0.8 ⇒

G (1) =α

min

a 1 + (1−α)

max

a 1 j =

1≤ j ≤ 3 j

1≤ j ≤ 3

= 0.8⋅ (−25)+ 0.2 ⋅ (−20)= −24.

Аналогичным образом рассчитываются значения критериев при i =2 или 3.

Таблица 2.1

Стратегия	F 1	F 2	F 3	Критерий Вальда	Критерий Лапласа	Критерий Гурвица
α =0.2	α =0.8
	E 1	-20	-22	-25	-25	-22.33	-21	-24
E 2	-14	-23	-31	-31	-22.66	-17.4	-27.6
E 3		-24	-40	-40	-21.33	-8	-32

Согласно критерию Вальда следует проводить полную проверку. Критерий Лапласа, в предположении, что все состояния машины равновероятны, рекомендует отказаться от проверки. Рекомендации по

критерию Гурвица зависят от значения параметраα.Таким образом,

необходимо подумать о том, какая из гипотез о поведении среды более

обоснована.

Пример 2.2. Выбор проекта отеля.

Предприниматель намерен взять в аренду отель сроком на 1 год.

Имеются отели четырех типов: на 20, 30, 40 или 50 комнат. По условию аренды предприниматель должен оплатить все расходы, связанные с содержанием отеля. Эти расходы (в немецких марках) состоят из трех частей.

1) Расходы, не зависящие от выбора проекта отеля:

а) благоустройство территории - 10 тыс. ДМ;

б) затраты на текущий ремонт и содержание - 1.5 тыс. ДМ;

в) один ночной дежурный - 6 тыс. ДМ;

г) один служащий для уборки территории - 8 тыс. ДМ.

Всего –25.5 тыс. ДМ.

2) Расходы, пропорциональные числу комнат отеля:

а) меблировка одной комнаты - 4 тыс. ДМ;

б) 1 горничная на 10 комнат - 6 тыс. ДМ;

в) содержание одной комнаты - 150 ДМ;

г) страхование на случай пожара для одной комнаты - 25 ДМ.

Всего на комнату – 4,775 тыс. ДМ.

3) Расходы, пропорциональные среднему числу занятых комнат:

а) стирка, уборка - 5 ДМ в день;

б) электричество, газ, вода - 5 ДМ в день.

Всего на занятую комнату – 10 ДМ в день.

Доход предпринимателя составляет 60 ДМ в день с каждой занятой комнаты.

Выбор какого проекта отеля следует считать оптимальным?

Решение. Прибыль (точнее, средняя прибыль) предпринимателя определяется здесь двумя параметрами: х - общее число комнат отеля и у -

среднее число заявок на комнату в год (т.е. среднегодовой спрос). При этом мы предполагаем, что х принимает значения 20, 30, 40, 50, а у - любое целое

значение, не превосходящее 50. Общий расход за год составляет (4775 х

+3650 у +25500) ДМ, а доход 21900 у ДМ. Прибыль за год F (x,y) = =18250 y’ -

4775 х -25500 (ДМ). Здесь y' = min { y,x }. Данная задача является задачей принятия решения в условиях неопределенности, в которой стратегии

предпринимателя (игрока) x ∈{20,30,40,50}, а состояния среды y ∈{0,1,…,50}.

Функция выигрыша, указывающая выигрыш (прибыль) предпринимателя в

любой ситуации, есть F (x, y). Составим таблицу функции выигрыша, взяв для упрощения записи отдельные значения переменной y: 10, 15, 20, 25, 30, 40,

50; получаем таблицу 2.2. Таким образом, в таблице 2.2 записана матрица

A = (ai

j), i =1,..,4,

j =1,..,7

Оценки стратегий по критериям Лапласа,

Вальда, Гурвица (при α=0.2; 0.5; 0.9) приведены в таблице 2.3 (выделены

полужирным шрифтом клетки, соответствующие наилучшему исходу по

каждому из критериев).

Таблица 2.2

х \ у
	-34000
	-81750

Таблица 2.3

x	Критерий Лапласа	Критерий Вальда	Критерий Гурвица
α =0.2	α =0.5	α =0.9
		-34000
		-81750			-8750

Из таблицы 2.3 видно, что разные критерии приводят к разным оптимальным решениям; решение об окончательном выборе проекта отеля может быть принято только при наличии новых содержательных

соображений (например, выбор показателя пессимизма α для критерия

Гурвица).

Далее, данная задача принятия решения в условиях неопределенности станет задачей принятия решения в условиях риска, если предприниматель будет обладать дополнительной информацией - знанием вероятностей

наступления тех или иных состояний среды. В нашем случае оценки этих вероятностей могут быть определены статистическим методом, если имеется статистика спроса на проживание в отелях такого типа в сходных условиях.

Пример 2.3.

Предприниматель имеет возможность вложить свои деньги либо в государственные ценные бумаги(1-я стратегия), либо в акции

высокодоходного предприятия (2-я стратегия). Для упрощения задачи мы полагаем, что деньги нельзя «класть в разные корзины». Природа (экономика) может находиться в трех состояниях: кризис, стабильное

положение, подъем. Матрица выигрыша предпринимателя

A = (ai

j), i =1,2,

j =1,..,3

представлена в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Объект вложения	Состояние природы
Кризис	Стабильность	Подъем
Гос. ценные бумаги
Акции	-5

Числа в таблице – некоторые денежные единицы. Мы исходим из естественного предположения, что государственные бумаги в благоприятной для экономики ситуации менее доходны, чем акции. Очевидно, по критерию Вальда решением задачи будет покупка государственных бумаг, по

критерию Лапласа – акций. Определим, как влияет здесь параметр αна

выбор решения по критерию Гурвица. Для этого необходимо составить

уравнение

0 ⋅α+ 5 ⋅ (1 −α)= −5 ⋅α+13 ⋅ (1 −α).

Решением будет

α= 8

13

. При α<

8 критерий Гурвица рекомендует

акции, в других случаях – государственные бумаги. Естественно, числа в таблице выбраны в значительной мере произвольно. Выигрыши предпринимателя в каждой ситуации могут отличаться от тех, что приведены в таблице. Важен порядок, в котором идут элементы каждой строки этой таблицы (максимум - в 3-м столбце, минимум – в 1-м). Тогда общее

уравнение для поиска α, граничного в смысле выбора решения, будет таким:

a 11 ⋅α+ a 13 ⋅(1−α)= a 21 ⋅α+ a 23 ⋅(1− α).