Характеристики случайных величин

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина

M [ X ] = p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ +... + p ₃ x ₃ +... (4)

Замечание. Математическое ожидание представляет взвешенное среднее значение случайной величины с весовыми коэффициентами равными соответствующим вероятностям. Математическое ожидание часто также называют средним значением случайной величины.

В дальнейшем, наряду с обозначением (4), для математического ожидания M [ X ] будем использовать обозначение .

Заметим, что если X и Y случайные величины, то X ², Y ², CX, X + C, X – C (где ) и X + Y также являются случайными величинами.

Перечислим основные свойства математического ожидания.

1⁰. M [ C ] = C, где С есть случайная величина, принимающая только постоянное значение С, то есть величина с законом распределения

2⁰. M [ CX ] = C M [ X ] ;

3⁰. M [ X + Y ] = M [ X ] + M [ Y ].

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина

(5)

Величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величины X.

Заметим, что дисперсия характеризует величину отклонения (рассеивания) случайной величины X от ее среднего значения .

Если рассмотреть случайную величину , то очевидно, что

(7)

Утверждение. Если X дискретная случайная величина, то

(8)

Доказательство.

Из (7) и свойств 1⁰ – 3⁰ следует

Утверждение доказано.

Сформулируем основные свойства дисперсии дискретной случайной величины:

1⁰. D [ C ] = 0;

2⁰. D [ CX ] = C² D [ X ];

3⁰. D [ αX + β ] = α ² D [ X ].