Тема 3. Основы актуарной математики

Классический процесс риска

Классический процесс риска изучался на протяжении всего 20 века, начиная с работы Лундберга. Уравнением этого процесса описывается динамический портфель страховой компании, банка, других финансовых организаций, являющихся перераспределителями финансовых потоков в окружении рискованной среды. Среди других приложений можно упомянуть описание уровня воды в водохранилище.

Рассмотрим определение процесса риска на примере работы страховой компании. Пусть страховые премии поступают равномерным потоком¹ с интенсивностью с, а в случайные моменты времени наступают страховые события, наносящие ущерб случайного размера соответственно. Тогда размер капитала компании в момент времени t при условии, что начальный капитал (в момент времени ) равен х, описывается выражением

, (2.14)

где

количество страховых событий, наступивших в интервале времени . Поскольку моменты времени случайны, случайными оказываются и промежутки времени между последовательными страховыми событиями

Случайный процесс вида (2.14) называется классическим процессом риска, если случайные величины являются независимыми, одинаково распределенными и имеют показательное распределение с параметром :

случайные величины также являются независимыми и одинаково распределенными и имеют функцию распределения

При этом, количество страховых событий имеет распределение Пуассона с параметром :

а накопленный размер страховых убытков

на интервале времени является случайной величиной с так называемым составным распределением Пуассона, функция распределения которого имеет вид

где означает k - кратную свертку функции распределения F с собой, т.е. функцию распределения суммы k независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F.

В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть зависимость значения процесса от случайного аргумента , будем использовать обозначение , в частности, отдельную траекторию процесса при фиксированном будем обозначать

Как видим, классический процесс риска вполне определяется значениями четырех параметров , удовлетворяющих условиям

(2.15)

Произвольный классический процесс риска с фиксированными значениями параметров, удовлетворяющих условиям (2.15), будем обозначать

(71)

а совокупность всех классических процессов риска с такими параметрами