Простейший и классический процессы риска
Рассмотрим простейшую модель процесса риска в терминах следующей игры: в игре участвуют два игрока, в каждой партии первый игрок выигрывает единицу с вероятностью и проигрывает единицу с вероятностью . Суммарный начальный капитал обоих игроков равен а, начальный капитал первого игрока равен z; здесь a, z - целые числа, . Таким образом, процесс описывается уравнением
где последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с дискретным распределением,
Игра заканчивается, когда обнуляется капитал одного из игроков (капитал первого игрока становится равным 0 или а), что трактуется, как разорение соответствующего игрока. Ясно, что при игра невыгодна для первого игрока ввиду , при - выгодна , а при является нейтральной, "справедливой": . Обозначим момент разорения первого игрока: (несобственная случайная величина), вероятность разорения первого игрока при начальном капитале . Отметим, что ввиду известной симметрии игры вероятность разорения второго игрока при начальном капитале первого, равном z, может быть вычислена формальной заменой а на и перестановкой р и q в выражении для
|
|
Если начальный капитал первого игрока равен 0 или а, то игра не проводится и соответствующие значения вероятностей разорения равны
Если же , то после первой партии капитал первого игрока принимает значение с вероятностью р или значение с вероятностью q. Поэтому, по формуле полной вероятности,
представляет собой разностное уравнение второго порядка с характеристическим уравнением
корни которого равны 1 и , соответственно. Обозначим второй корень