2014-02-02
1852
Обычно невероятно трудно вычислить точно вероятность (окончательного) разорения Y (U).
Неравенство Лундберга дает некоторую верхнюю границу для Y (U):
Y (U)  exp (-RU)
| (3.2) |
где R - поправочный коэффициент;
U - начальные активы.
Это неравенство имеет два преимущества над точным выражением для Y (U):
1) его просто применять;
2) если U не слишком малы, то достигаемая аппроксимация очень хорошая.
Неравенство (3.2) говорит о том, что вероятность разорения ограничена функцией, экспоненциально убывающей с ростом U. Вероятность разорения убывает с ростом U и R.
Поправочный коэффициент R является единственным положительным корнем уравнения
| (3.3) |
Уравнение (3.3) обычно решается численно (например, используется метод Ньютона).
Пример 1. Распределение выплат экспоненциально с функцией распределения F(x)=1-exp(-a x), x>0. Найти поправочный коэффициент.
Решение. Производящая функция моментов M(t)= a /(a -t), а среднее p1=1/a, то нужно решить уравнение
Тогда поправочный коэффициент равен
Если (3.3) решается с помощью численных методов, то верхняя граница для R может оказаться очень полезной. Из (3.3) получаем
|
|
|
откуда
| (3.4) |
Зависимость поправочного коэффициента от надбавки безопасности представлена на рис 3.2.; первый график соответствует экспоненциальному распределению со средним 1, а второй - постоянному распределению страховых выплат (каждая страховая выплата имеет размер 1).
Рис 3.2. График зависимости R от q.
