Сложные пуассоновские процессы

Задача о разорении. Вероятность разорения

Рис. 3.1. Распределение двух совокупностей 1 и 2 по признаку

Формула Байеса и оптимальные параметрические решающие правила могут быть использованы, если возможна достаточно точная аппроксимация функции плотности распределения данных.

Рассмотрим состояние страхового портфеля не только в конце более длинных периодов времени (чем год), но и в промежуточные моменты времени, вне зависимости от того, предъявляются ли страховой компании требования о выплате. В частности, обсудим вопрос: имеются ли у компании достаточные средства для того, чтобы оплатить потенциальные требования о выплате?

Сумма, которую компания имеет в момент времени t, называется активами на момент t. Ясно, что

[Активы на момент t] = [Исходные активы] + [Взносы на момент t] – [Выплаты на момент t]

(3.1)

Нашей целью будет определение вероятности разорения и ее зависимости от:

- начальных активов;

- надбавки безопасности.

Чтобы найти взаимосвязь предположим, что:

- требования о выплате, предъявляемые страхователями, оплачиваются немедленно;

- процентная ставка равна нулю;

- издержки страховщика во внимание не принимаются

Пусть:

N(t) - число требований о выплате, имевших место до момента t; t>0.

{N(t)}₀_³t - случайный процесс, описывающий число требований о выплате.

X_i - размер i -й страховой выплаты.

S(t) - общий размер страховых выплат, имевших место до момента t, t>0.

{S(t)}₀_³t - случайный процесс, описывающий общий размер выплат.

Для каждого t>0 имеем:

U - начальные активы;

U(t) - активы страховщика в момент t.

Предположим, что страховые взносы поступают непрерывно и с фиксированной скоростью c. Тогда по (3.1) имеем

U(t)=U+ct-S(t)

Ясно, что {U(t)}_t_³0 - случайный процесс, называемый процессом изменения активов.

Когда активы падают до нуля, то говорят, что произошло разорениестраховщика.

Y(U) называется вероятностью окончательного разорения при данных начальных активах U:

Y (U)= Pr (u(t)<0, при некотором t, 0<t<¥)

Сложное пуассоновское распределение S ~ CP(l,F), если

1. X_j одинаково распределены с общей для них функцией распределения F(x)

2. X_j независимы от N

3. N ~ P(l)

В этом случае

Введем дополнительные предположения:

а) случайные величины независимы и одинаково распределены (обозначим общую для всех X_i функцию распределения через F(x), плотность распределения через f(x));

б) случайные величины независимы от N(t) при всех t³0;

в) случайный процесс является пуассоновским с параметром l, т.е.

Тогда процесс {S(t)}_t_{³ 0} является пуассоновским процессом.

Обозначим . Предположим, что страховые взносы, собранные страховщиком за единичный момент времени, превосходят ожидаемую величину страховых выплат за единицу времени