Функция Лагранжа одномерного движения. Общее решение задачи о движении в постоянном потенциале. Период финитного движения. Математический маятник

Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы. Наиболее общий вид функции Лагранжа для такого движения в постоянных внешних условиях:

, (1)

где m (q) – некоторая функция обобщенной координаты q. В частности, если q – декартова координата х, то . (2)

Закон движения такой системы может быть найден в общем виде когда потенциальная энергия не зависит от времени. В этом случае и сохраняется энергия системы:

. (3)

Из данного уравнения получим: , откуда

. (4)

Решая уравнение (4) находят связь между х и t, т.е. находят уравнение движения x(t). Так как кинетическая энергия положительная величина, то полная энергия всегда больше потенциальной. Т.е. движение возможно только в том случае, когда E> U(x). Пусть график потенциальной энергии имеет вид, изображенный на рисунке.

Проведем на графике прямую, соответствующую заданному значению полной энергии. Условию E> U(x) отвечает движение в области АВ или в области справа от С. Точки, в которых E = U(x) определяют границы движения и называются точками остановки. Движение в области, ограниченной двумя точками, называется финитным. Если область движения не ограничена или ограничена с одной стороны, то такое движение называется инфинитным. На рисунке АВ – область финитного движения, область справа от точки С – инфинитного.

Одномерное финитное движение является колебанием. На рисунке тело движется в потенциальной яме АВ между точками х ₁и х ₂. Период колебания равен удвоенному времени прохождения отрезка [ x ₁, x ₂]. Как следует из (4):

. (5)

Если использовать запись функции Лагранжа в виде (1), то формула для периода колебания примет наиболее общий вид:

(6)

Рассмотрим в качестве примера движение математического маятника. Тело массы m, соединенное жестким невесомым стержнем длины l с неподвижной точкой подвеса движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Обобщенной координатой маятника выберем угол j между вертикалью и стержнем. Тогда декартовы координаты связаны с j следующим образом: , . Отсюда , . Функция Лагранжа математического маятника имеет вид: . Сравнивая данное соотношение с формулой (1), получим, что m (q)= ml ². Тогда период колебания математического маятника в соответствии с формулой (6): (7)

Углы j₁ и j₂ находят из условия E=U. Если полная энергия Е будет больше mglcosj, то уравнение E=U не будет иметь решений и движение маятника будет представлять собой вращение.