2014-02-02
1727
Под кручением понимается такой вид нагружения, когда в поперечных сечениях бруса возникают крутящие моменты. Крутящий момент будем считать положительным, если, глядя со стороны внешней нормали к сечению, наблюдатель видит его направление против часовой стрелки (рис.3.9).
 |
Рис. 3.9
Нанесем на боковую поверхность скручиваемого бруса ортогональную сетку (рис. 3.10).
Рис. 3.10
После закручивания прямоугольники перекашиваются. При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого. Сформулируем гипотезы, которые положим в основу дальнейших выводов.
1) Сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими, и после закручивания.
2) Радиусы, проведенные в любом поперечном сечении, в процессе кручения не искривляются.
Двумя поперечными и кольцевым сечением выделим элемент длиною 
(рис. 3.11).
Рис. 3.11
Для удобства левое его сечение будем считать неподвижным. Поворот правого сечения относительно левого равен 
. Образующая 
отклонится на малый угол 
и перейдет в положение 
. Угол сдвига волокна, лежащего на поверхности стержня, определяется равенством 
.
Для произвольного волокна, отстоящего от центра на расстоянии 
, будем иметь 
. На основании закона Гука при сдвиге для двух указанных точек можно записать
(3.6)
, (3.7)
где 
— относительный угол закручивания.
Из формулы видно, что напряжения 
меняются по сечению по линейному закону пропорционально радиусу . Графически этот закон представлен на рис. 3.12,а. Для стержня кольцевого сечения закон распределения касательных напряжений показан на рис. 3.12,б.
Рис. 3.12
Элементарные силы 
создают крутящий момент
,
— Откуда 
,
(3.8)
Подставляя в формулу (3.7) полученное выражение (3.8) окончательно получим
(3.9)
Мы получим формулу для определения 
в любой точке поперечного сечения. Максимальные напряжения в крайних точках сечения определяют по формуле
, (3.10)
где 
— полярный момент сопротивления.
Взаимный угол поворота двух сечений расположенных на расстоянии равен 
(т.к. ).
С учетом (3.8) получим 
.
Абсолютный угол закручивания равен
(3.11)
Если 
— const, то
(3.12)
Условия прочности и жесткости при кручении имеют вид
(3.13)
(3.14)
Вычислим полярные моменты инерции и сопротивления для круга и кольца. По определению их значения определяются выражениями
, .
Вырежем тонкое кольцо (рис.3.13).
Рис. 3.13
Его площадь 
. Подставляя 
в интервал 
. После вычисления интеграла получим: 
, 
.
Для кольцевого сечения (рис.3.14) 
.
Рис. 3.14
Пусть 
, тогда 
, 
.
