2014-02-02
1447
Рассмотрим следующие три интеграла (рис. 4.3).
Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей 
, а третий — центробежным моментом инерции относительно осей .
Пусть заданы: 
.
Требуется найти 
.
Координаты площади 
в системе координат 
равны: 
. Вычислим моменты инерции относительно осей 
.
,
,
.
После интегрирования имеем:
,
,
.
Если оси 
— являются центральными, то 
и выражения принимают вид
(4.4)
(4.4) называют формулами перехода для моментов инерции от центральных осей к произвольным 
.
Из первых двух формул (4.4)следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (при 
или 
).
Поэтому легко установить, что при переходе от центральных осей к произвольным моменты инерции увеличиваются на 
и 
, а при переходе от произвольных к центральным эти величины нужно вычитать.
При определении центрального момента инерции следует учитывать знак 
и 
.
Пример: Найти моменты инерции прямоугольного относительно основания и относительно центральных осей (рис. 4.4).
Рис. 4.4
Момент инерции относительно оси 
.
Воспользуемся формулами переноса (4.4)
.
По аналогии
.
Моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей необходимо помнить,
.
