1) Нечёткое отрицание «НЕ»
отображение : [0;1]->[0;1] называется отрицанием, если выполняются следующие 3 аксиомы:
фор1
Если выполняется аксиома 3, то отрицание называется сильным или инволюцией.
Аксиома 1 сохраняет свойства двузначного «НЕ» и означает, что нечёткое отрицание 0 равно 1.
Аксиома 2 это наиболее существенное требование, понятия «Отрицания»:
нечёткое отрицание инвертирует (т.е. наоборот) в смысле строго неравенства, последовательность оценок.
Аксиома 3 инволюции является правилом двойного отрицания, которое утверждает, что взятие дважды отрицания возвращает нас к исходной оценке.
Пример инволюции: типичном примером сильно отрицания (инволюции) яв-ся вычитание из 1 фор2
С точки зрения нечётких множеств оно соответствует понятью дополнения нечёткого множества A с функцией принадлежности рис1.
Докажем выполнимость всех трёх аксиом для этого примера:
фор3
Кроме того очевидно то, что x = 0,5 соответствует
2) Нечёткое расширение «И» t – норма. (Триангулярная норма или треугольная норма).
|
|
t- нормой называется бинарная операция T: [0,1]x[0,1] ->[0,1] удовлитвряющая следующим аксиомам:
фор4
Геометрический смысл произвольной t – нормы
Из аксиом T1(0) и T2(0) что область определения x1 T x2 находится на стороне единичного куба в плоскости (x1;x2), другими словами из аксиомы T1(0) следует, что на стороне x2 = 1, единичного куба образуется линия x1 Т x2 = x1, а на стороне x2 = 0 или в плоскости x1 T x2 = 0.
Если использовать семетричность T2(0), то на стороне x1=1 образуется линия x1 T x2 = x2, а на стороне x1 = 0 образуется линия x1 T x2 = x2
Таким образом значения x1 T x2 в четырёх вершинах еденичного куба, явл-ся также значениями чёткой операции «И». Из аксиомы T2 следует что график симметричен относительно плоскости образованной наклонными x1 = x2.
рис 4
3) нечёткое ррашрнение «ИЛИ» - t – конорма (треугольная конорма или s – норма).
s – нормой называется бинарная операция G: [0;1]x[0;1]->[0;1] удовлетворяющие следующим аксиомам:
S1(0): граничные условия
фор 5
типичной S – нормой называется операция максимума «сим1»