Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора е, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат и длиной р этого перпендикуляра.

z

K

e M

γ r

β y

α

x

Пусть ОК = Р, а α,β и γ – углы образованные единичным вектором е с осями Ох,Оу и Oz. Тогда вектор е = (cosα; cosβ; cosγ).Возьмем на плоскости произвольную точку М(х;у;z)

и соеденим её с началом координат, образуем вектор r=OM(x;y;z). При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-вектора r на направление вектора е: пр_еr=р, то есть re=р или

r∙е – р = 0 (6)

Уравнение (6) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов r и е, уравнение (6) перепишем в виде:

xcosα + ycosβ + zcosγ – p = 0 (7)

Уравнение (7) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (1) можно привести к нормальному уравнению (7), так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости, а именно: умножив обе части уравнения (1) на нормирующий множитель . Знак берется противоположным знаку свободного члена р общего уравнения.