Проверка качества уравнения регрессии

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качества уравнения регрессии, которое оценивается по тому, как хорошо полученное уравнение регрессии согласуется с экспериментальными данными. Другими словами, насколько широко рассеяны точки наблюдений относительно линии регрессии. Очевидно, если все точки лежат на построенной прямой, то регрессия Y на Х идеально объясняет поведение зависимой переменной. Но в реальных условиях такая ситуация практически не встречается. Обычно поведение Y лишь частично объясняется влиянием переменной Х.

Суммарной мерой общего качества уравнения регрессии (соответствия уравнения статистическим данным) является коэффициент детерминации R². В случае парной регрессии коэффициент детерминации будет совпадать с квадратом коэффициента корреляции. В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

следует, что

Слагаемое определяет долю разброса зависимой переменной, необъясненную регрессией. Тогда R² показывает долю разброса Y, объясненную моделью регрессии.

Из проведенных рассуждений следует, что в общем случае справедливо соотношение . Чем теснее линейная связь между Y и Х, тем ближе R² к 1.

7. Интервальный прогноз для y*

Часто уравнение регрессии используют для определения прогнозного значения , зная значение . Это делается путем подстановки в уравнение регрессии вместо х значения. Однако в большинстве случаев точечный прогноз дополняется интервальным. Задается уровень надежности и рассчитывается доверительный интервал для прогнозного значения y^*.

Стандартная ошибка для y_p определяется по формуле

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения y при заданном значении x_k характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки достигает минимума при и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между x_k и , тем больше ошибка , с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения x_k. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор x находится в центре области наблюдения x и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении x_k от . Если же значение x_k оказывается за пределами наблюдаемых значений, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько x_k откланяется от области наблюдаемых значений фактора x.

Для рассмотренного примера