2014-02-02
2817
Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
. Разобьем отрезок на 
отрезков точками 
таких, что 
Множество точек 
называют разбиением отрезка ; Обозначим 
,
, 
, 
, 
- диаметр разбиения 
. Очевидно, что 
зависит от . Это записывают так: 
. Выберем на
каждом отрезке 
по одной точке 
, где 
. Точки 
называют промежуточными точками. Обозначим множество промежуточных точек буквой 
.
Обозначим 
.
Величина 
называется интегральной суммой функции 
, соответствующей данному разбиению и промежуточным точкам 
. Каждое слагаемое интегральной суммы 
представляет собой площадь прямоугольника, которая приблизительно равна площади криволинейной трапеции ABCD. Поэтому вся сумма дает приближенное выражение для площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми 
, 
, 
(в случае, когда 
). Очевидно, что это приближение тем точнее, чем мельче разбиение , то есть чем меньше диаметр разбиения .
Определение 1.Число I называют пределом интегральных сумм при 
и при этом пишут
I 
или 
I, (10)
если 
разбиение такое, что для любого выбора промежуточных точек имеет место неравенство 
.
|
|
|
Замечание 1. В курсе математического анализа доказывается существование предела (10), если функция 
непрерывна на отрезке .
Определение 2. Предел при интегральных сумм I называется определенным интегралом Римана от функции на отрезке и обозначается 
. Числа a и b называют нижним и верхним пределом интегрирования соответственно.
Непосредственно из определения выводятся следующие свойства определенного интеграла:
1. 
2. 
3. 
4. 
.
(Во всех формулах и 
непрерывны на .)
Связь определенного и неопределенного интегралов задается формулой Ньютона-Лейбница:
,
где 
есть первообразная функции , непрерывной на отрезке .
Отметим, что первообразная может быть найдена с помощью вычисления неопределенного интеграла. В курсе математического анализа доказано, что непрерывная на отрезке [ a,b ] функция имеет на нем первообразную. Одна из первообразных задается формулой 
С помощью определенного интеграла можно решить такие задачи, как вычисление площади плоской фигуры, длины плоской кривой, объема тела вращения, площади поверхности тела вращения и другие. Приведем только три из перечисленных формул, которые будут нам необходимы при решении задач.
1. Площадь плоской фигуры, расположенной между прямыми ,, 
и графиками функций 
, 
(где 
, см. рис.) задается формулой:
.
Эта формула легко вытекает из определения определенного интеграла и свойства 2.
Действительно, площадь криволинейной трапеции ABCD равна: 
. Площадь криволинейной трапеции AEFD равна:
. Поэтому 
.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
, ,
|
|
|
, 
. (см. рис.)
Решение.
