Производная функции и ее геометрический смысл

Производная и дифференциал.

Пусть функция определена на некотором интервале и .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

.

Геометрический смысл производной.

Пусть задана функция , непрерывная в некоторой окрестности точки (рис. 58). Построим на осях координат точки и . Тогда длина , , . При точка стремится к точке и в пределе совпадает с ней. Угол стремится к углу наклона касательной и в пределе совпадает с ним. Секущая превращается в касательную к графику функции в точке . Таким образом,

Пример 44. Написать уравнение касательной к графику функции в точке

Решение. Так как , то вычислим значения , , . Окончательно получимили .