Производная сложной функции. Пусть некоторая функция, где так же функция, тогда выражение является функцией, которая называется сложной функцией от переменной

Пусть некоторая функция, где так же функция, тогда выражение является функцией, которая называется сложной функцией от переменной . Переменная в этом случае называется промежуточной.

Теорема 25. Если функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную .

Доказательство. Пусть

, или

поэтому , где при . Отсюда

Рассмотрим примеры на применение теоремы 25.

Пример 48. Найти производную функции .

Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

Пример 50. Найти производную функции .

Решение. В нашем случае , , . По теореме 25 имеем

в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция так же имеет производную

то имеем

Пример 51. Рассмотрим функцию . Ее обратная . Тогда по теореме 26