Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций

Теорема 19. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Тогда существует предел

где при . Отсюда

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

.

Доказательство. Пусть , тогда

Показательные функции.

1) .

Логарифмические функции.

Тригонометрические функции.

Дифференциал и его геометрический смысл.

Основные понятия.

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную

где , при , отсюда и . Величинуназывают главной частью приращения функции .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения в этой точке. Обозначается или ,

то и

Пример 46. Найти дифференциалы функций и .

Решение. Для первой функции

Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке при приращении аргумента . В этом заключается геометрический смысл дифференциала.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Пусть дана функция . Тогда , и

Пример 47. Вычислить приближенное значение .

Решение. Рассмотрим функцию . Пусть Так как

то