Сравнение множеств

Определение. Говорят, что множество A содержится во множестве B (А – подмножество B, А включено в B, В содержит / включает A), если всякий элемент множества A принадлежит и множеству В. В этом случае пишут: . Таким образом, Û

Можно сказать иначе: если , то .

Одновременно верно и такое утверждение: если и , то , ведь в противном случае обязан принадлежать . Значит, можно записать: если , то .

Определение. Говорят, что множество A есть собственноеподмножество множества B (В строго включает А) и пишут AВ, если и ВА.

Таким образом, AВ Ûи

Определение. Если (AВ), то множества А и В называются сравнимыми между собой.

Ясно, что

· A для всякого множества A;

· Если и , то ; (и , то ).

Исходя из определения подмножества, опишем необходимые и достаточные условия того, что множество А не является подмножеством множества В (обозначение: А Ë В).

Именно, А Ë В Û Во множестве А должен существовать хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству В.

Утверждение. для всякого множества А.

Доказательство. Пусть . Тогда . Но данное условие противоречиво, пустое множество не содержит элементов.

Пример. Пусть В = {1, {2}, {1}, {2, 3}, {1, 3}} и А ₁ = {1, 2};

А ₂ = {1, {1}}; А ₃ = {2, 3}; А ₄ = {{2, 3}}; А ₅ = {1, {2, 3}, {1, 3}};

А ₆ = {1, Æ}; А ₇ = {{2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}; А ₈ = Æ.

Тогда А ₁ Ë В (2 Ï В); А ₂ Í В; А ₃ Ë В (2 Ï В и 3 Ï В); А ₄ Í В; А ₅ Í В; А ₆ Ë В (Æ Ï В); А ₇ Ë В ({1, 2, 3} Ï В); А ₈ Í В.

Определение. Булеаном множества А (обозначается 2 ^А) называется семейство всех подмножеств данного множества А.

Значит, 2 ^А= { B|BA }. В частности, и