Два принципа интуитивной теории множеств

Утверждение, что любое множество однозначно определяется своими элементами можно сформулировать по-другому.

Определение. (Интуитивный принцип объемности). Два множества А и В называются равными, пишется A = B, тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Следовательно, если множества А и В не равны, то существует хотя бы один элемент х такой, что х принадлежит одному из этих множеств, но не принадлежит другому. Неравенство множеств обозначается символом ,пишут A B.

В соответствии с принципом объемности доказательство равенства множеств А и В нужно проводить в два этапа: доказать, что всякий элемент принадлежит также множеству В; доказать, что всякий элемент принадлежит и множеству А.

Пример 1. Множество А = {1, 2, 3} равно множеству В = {2, 3, 1}, так как порядок перечисления элементов множества не имеет значения.

Пример 2. множество слева от знака ¹ – это пустое множество, не содержащее элементов, а множество справа – это множество, содержащее единственный элемент – пустое множество.

Пример 3. {{1, 2}, {2, 3}} ¹ {1, 2, 3}, так как первое множество – это семейство, содержащее два элемента: множества {1, 2}, {2, 3}. Второе множество содержит три элемента – 1, 2, 3.

Определение. Под высказыванием будем понимать любое повествовательное предложение, которое можно охарактеризовать как истинное или ложное.

Под одноместным характеристическим предикатом от будем понимать некоторое утверждение относительно объекта , которое превращается в высказывание, истинное, ложное или бессмысленное, если букву заменить именем объекта.

Сразу оговоримся, что судить об истинности, ложности или бессмысленности полученного высказывания можно не всегда. Но сейчас мы приведем примеры одноместных предикатов, для которых такие суждения представляются возможными.

1. Рассмотрим утверждение «> 5». Этот предикат превращается в истинное высказывание, если букву заменить числом 8, ложное высказывание, если букву заменить числом 4 и, по-видимому, в бессмысленное высказывание, если написать «слон > 5».

2. Предикат «слово содержит букву б» превращается в истинное высказывание в случае «слово «алгебра» содержит букву б» и ложное в случае «слово «группа» содержит букву б».

Частично избежать бессмыслицы можно, если заранее оговорить, из какого множества выбираются имена, заменяющие букву 3.

Всякий одноместный предикат можно считать функцией одного переменного х. Значения функции – истинные ложные или бессмысленные высказывания. Область определения – некоторое множество имен объектов.

Понятие одноместного предиката легко обобщить, определяя двух-, трех-,…, n - местные предикаты. Например, “ x + y =5” – это двухместный предикат, “ x + y = z ” – трехместный предикат и т.д.

Предикаты будем обозначать большими латинскими буквами, после которых в скобках перечислены их аргументы: P (x), Q (x, y), R (x ₁, x ₂, …, x_n) и т.д.