Частные случаи плоского напряженного состояния

Всестороннее растяжение

Напряженное состояние, при котором главные напряжения, действующие по граням параллелепипеда равны между собой = = s, называется всесторонним растяжением. В этом случае, получим

,,

,,

то есть, нормальные напряжения в любой произвольной площадке равны между собой = = = = s, а касательные напряжения равны нулю:,.

Чистый сдвиг

Пусть по граням параллелепипеда действуют главные напряжения =s, = - s, (рис.3.10).

Определим величины нормальных и касательных напряжений, действующих в площадках повернутых под углом 45^о к главным. Из формул (3.16) получим, что

Напряженное состояние, при котором по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом, а площадки - площадками чистого сдвига.

Экспериментально установлено, что существует линейная зависимость между углом сдвига g и касательными напряжениями t (рис.3.11),являющейся законом Гука при сдвиге

,

где G – модуль сдвига, характеризующий способность материала сопротивляться сдвиговой деформации, т.е. характеризующая жесткость материала при сдвиге.

Величина модуля сдвига связана с модулем упругости при растяжении Е и коэффициентом Пуассона ν соотношением

.

Обратная задача

В расчетной практике часто известны не главные напряжения, а напряжения, действующие по некоторым направлениям, например, вдоль продольной линии стержня или балки, по их величинам следует определять главные напряжения, так как именно они играют часто наибольшую роль при оценке прочности элемента конструкции. Таким образом, может быть поставлена обратная задача теории напряженного состояния: по известным напряжениям s_x и s_y, τ_xy, действующим по двум взаимно перпендикулярным площадкам найти величины главных напряжений и и положения главных площадок (угол α₀).

Пусть для определенности положим. Из формул (3.16) и (3.17), можно получить

(3.18)

Исключив из этих формул и, получим формулу для определения угла наклона главных площадок относительно заданной площадки. Обозначим этот угол. Так как направление отсчета углов для площадки произвольного положения и угла противоположны, то в полученной формуле необходимо изменить знак. Положительный угол будем откладывать от направления внешней нормали к площадке, по которой действуют большие нормальные напряжения против хода часовой стрелки.

.

Откуда

.

Для определения и возведем каждое из соотношений (3.3) в квадрат и сложим их:

,

тогда

,

а так как + =, то из двух последних соотношений получим:

(3.19)

Большее главное напряжение действует на площадке с углом наклона a₀, вторая же главная площадка с напряжением ей перпендикулярна и ее нормаль наклонена под углом к направлению.

Положение главных площадок и направления главных напряжений представлены на рис.3.12.

Главные напряжения обладают свойствами экстремальности, т.е. наибольшее, а наименьшее при любом положении секущей пары взаимно перпендикулярных плоскостей.