Линейное напряженное состояние.
Главные площадки и главные напряжения. Виды напряженного состояния тела.
Рассмотрим две взаимно-перпендикулярные площадки с касательными напряжениями и. Согласно закону парности касательных напряжений знаки и противоположны. Поэтому, если площадку с напряжением поворачивать до совпадения с площадкой с напряжением, то обязательно найдется такое положение площадки, когда.
Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными, а действующие по этим площадкам нормальные напряжения - главными напряжениями.
Главные напряжения обозначаются, причем. Элемент, выделенный главными площадками, изображен на рис.3.5. В зависимости от количества действующих главных напряжений различают три вида напряженных состояний: линейное, плоское и объемное.
Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис.3.6).
Примером линейного напряженного состояния может служить осевое растяжение-сжатие.
Рассмотрим задачу определения напряжений в площадке общего положения. Угол наклона этой площадки α будем отмерять от направления до нормали к площадке. Примем, что положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, а отрицательный по ходу часовой стрелки. Направим ось х вдоль нормали, ось у – перпендикулярно ей
Для определения напряжений s x и t ху рассмотрим рис.3.7.
Получим:
где - площадь наклонной площадки,
- площадь поперечного сечения,
- полное напряжение, действующее по наклонной площадке.
Учитывая, что, получим:
.
Раскладывая pa на направление оси х и оси у, получим
,
Рассмотрим площадку b перпендикулярную площадке a, угол
. Направим ось y по нормали к этой площадке. Нормальные напряжения, действующие по этой площадке равны
.
Складывая sх и sу, получим
sx + sy = s1 = const,
т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам величина постоянная и равна главному напряжению.
Касательные напряжения, действующие по наклонной площадке b
,
т.е. справедлив закон парности касательных напряжений.
Нормальные напряжения sx по наклонной площадке a достигают максимального значения при a = 0, т.е. в поперечном сечении.
Касательные напряжения τxy по наклонной площадке a достигают максимального значения при a = ± 450.
Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю.
На рис.3.8 показано плоское напряженное состояние.
Прямая задача.
Определим напряжения sx и txy, действующие по любой наклонной площадке a по известным главным напряжениям и, т.е. решим так называемую прямую задачу теории напряженного состояния.
Для решения этой задачи воспользуемся принципом независимости действия сил.
Представим плоское напряженное состояние в виде суммы двух независимых линейных напряженных состояний: первое – при действии только напряжений s1, второе – при действии только напряжений s2 (рис.3.9)
От каждого из напряжений s1, s2 напряжения sx1, sx2 и txy1, txy2 в произвольной площадке равны
Таким образом, суммируя напряжения, возникшие при каждом линейном напряженном состоянии, получим
(3.16)
Если рассмотреть площадку с углом наклона, перпендикулярную к площадке a, то можно доказать как и для линейного напряженного состояния, что
(3.17)
Суммируя нормальные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным произвольным площадкам, получим
.
Сравнивая величины касательных напряжений, получим
.
Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным к главным под углом a = 45о
.