Относительное изменение объема

Обобщенный закон Гука

Объемное напряженное состояние

Объемным или трехосным называется напряженное состояние, при котором все три главных напряжения отличны от нуля (рис.3.4).

Рассмотрим вопрос определения касательных напряжений в площадках, проходящих через одну из координатных осей x, y или z (рис.3.1).

Используя принцип независимости действия сил и результаты решения прямой задачи для линейного и плоского напряженных состояний, получим:

;;

;

При a = 45⁰, касательные напряжения достигают наибольших значений:

;;,

c учетом того, что, получим:

Таким образом, площадка с наибольшим касательным напряжением наклонена под углом α=45⁰ к главным площадкам с напряжениями.

Также можно доказать, что

.

Обобщенный закон Гука представляет собой связь между напряжениями и деформациями в случае объемного, и как частый случай, плоского напряженных состояний.

Он может быть получен на основании закона Гука для линейного напряженного состояния и принципа независимости действия сил.

Пусть задано произвольное объемное напряженное состояние с главными напряжениями, и. Представим его в виде суммы трех линейных напряженных состояний. Учитывая, что при линейном напряженном состоянии и запишем выражение для линейной относительной деформации в направлении:

Деформации в направлении действия главных напряжений равны

,

,

.

Эти выражения носят название обобщенного закона Гука, записанного для главных площадок. Деформации e₁, e₂, e₃, в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

Соотношения обобщенного закона Гука могут быть записаны для любых (не главных) площадок, но т.к. при этом будут действовать, кроме нормальных и касательные напряжения (рис.3.10), то необходимо добавить три соотношения для вычисления угловых деформаций. Таким образом, для произвольных площадок обобщенный закон Гука содержит 6 соотношений, связывающих деформации и напряжения:

,

,

,

;;.

Как известно, при деформации происходит изменение формы и объема тела. Рассмотрим относительное изменение объема тела при деформировании. Обратимся к рис.3.2. Объем элементарного прямоугольного параллелепипеда до деформации. При деформировании длина каждого ребра может измениться на некоторую величину D и объем того же параллелепипеда после деформирования будет.

Тогда относительное изменение объема может быть вычислено следующим образом:

.

Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости по сравнению с e (ee ≈ 0, eee ≈ 0), получим

.

Подставляя e из обобщенного закона Гука, получим

.

Учитывая, что запишем выражение для q в виде

.

Из формулы видно, что при положительных направлениях главных напряжений относительное изменение объема может быть положительной величиной если только коэффициент Пуассона будет ν < 0,5. Таким образом, получается, что для всех существующих в природе материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах и для большинства конструкционных материалов он равен ν = 0,2…0,3.

Также можно отметить, что если коэффициент Пуассона равен n = 0,5, то относительное изменение объема равно нулю. Резина имеет n ≈ 0,5, следовательно, при приложении нагрузки её объём практически не меняется, она ведет себя как несжимаемая жидкость. Это свойство резины часто используется в экспериментальной практике.

Определим также относительное изменение объема при чистом сдвиге.

Так как при чистом сдвиге,,, то

Таким образом, относительное изменение объема при чистом сдвиге равно нулю.