2014-02-02
721
Пусть функция 
определена в окрестности точки x0.
Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального максимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство 
.
x0 — max.
Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального минимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство 
.
x0 — min.
Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
Если функция , дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке экстремум, то производная 
.
Доказательство:
Пусть для определенности точка x0 — max.
Тогда по определению существует такая ее окрестность 
, в которой выполняется неравенство 
< 
.
Т.о. на интервале в точке x0 функция принимает наибольшее значение 
.
Тогда по теореме Ферма: .
Аналогично доказывается для минимума функции.
Ч.т.д.
Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x0 в том случае, когда производная 
не существует.
Точки, в которых производная либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной.
Замечание 1: Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум.
