Признаки монотонности функции

Волгодонск

Конспект лекции №3

Висновок

На даній лабораторній я навчився опрацьовувати дані у Excel, сортувати та фільтрувати дані у списку, формувати підсумки. Навчився створювати зведені таблиці у EXCEL

по теме:

«Монотонность функции»

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x₁<x₂, принадлежащих (a;b), выполняется ().

Определение: Функция называется возрастающей (убывающей) на (a;b), если для любых x₁<x₂, принадлежащих (a;b), выполняется ().

Теорема 1.

Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была возрастающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке была неотрицательна, т.е. , и достаточно, чтобы .

Доказательство:

Необходимость.

Пусть f(x) возрастает на (a;b). Тогда для любых выполняется .

Þ Þ .

По определению производной: .

Достаточность.

Пусть на (a;b). f(x) дифференцируема на (a;b). Выберем на этом промежутке 2 точки х₁; х₂.

Тогда на (х₁; х₂) выполняется условие теоремы Лагранжа:

существует точка с Î(х₁; х₂) такая, что .

Þ (т.к. ).

Þ. Þ возрастает на (a;b).

Ч.т.д.

Теорема 2.

Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была убывающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке и достаточно, чтобы .

Доказательство проводится аналогично.

Пример: Найти интервалы возрастания и убывания функции .

.

.

Þ .