Метод линеаризации

Зависимости

Обработка результатов косвенных измерений при нелинейной

Представление результатов измерений

Ввиду того, что каждый аргумент может иметь соответствующие доверительные границы неисключенной систематической и случайной погрешностей, то задача определения погрешности косвенного измерения в этих случаях делится на три этапа:

а) суммирование частных неисключенных систематических погрешностей аргументов;

б) суммирование частных случайных погрешностей аргументов;

в) сложение систематической и случайной составляющих погрешности.

Доверительная граница неисключенной систематической погрешности косвенного измерения при условии одинаковой доверительной вероятности частных погрешностей и их равномерного распределения внутри заданных границ определяется по формуле (без учета знака):

где θ y – доверительная граница неисключенной систематическо погрешности среднего значения X j -го аргумента. При отсутствии корреляционной связи между аргументами оценка СКО случайной погрешности косвенного измерения вычисляется по

формуле:

где S_{x j} – оценка СКО случайной погрешности результата измерения X _j -го аргумента.

При нормальном распределении погрешностей косвенного измерения доверительная граница случайной составляющей погрешности вычисляется по формуле:

где t _p – квантиль Стьюдента при доверительной вероятности P с эффективным числом степеней свободы k_эф, определяемом при малых объемах выборки по формуле:

При больших объемах число степеней свободы находится по формуле

Доверительная граница суммарной погрешности результата косвенного

измерения определяется по правилам, изложенным выше.

Существуют два метода определения точечной оценки результата косвенного измерения и её погрешности: линеаризации и приведения.

Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используется метод линеаризации. Метод линеаризации основан на том, что погрешность измерения значительно меньше измеряемой величины, и поэтому вблизи средних значений Xi аргументов нелинейная функциональная зависимость линеаризуется и раскладывается в ряд Тейлора (члены высокого порядка не учитываются). Линеаризуя функцию нескольких случайных аргументов (какими и являются результаты измерений и их погрешности), можно получить, как правило, достаточно простое выражение для вычисления оценок среднего

значения и среднего квадратического отклонения функции. Разложение нелинейной функции в ряд Тейлора имеет вид:

Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R. Остаточным членом

пренебрегают, если

где X _S – среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата измерения x_i -го аргумента. Первое слагаемое правой части уравнения есть точечная оценка истинного значения косвенной величины, которая получается подстановкой в

функциональную зависимость средних арифметических X_i, значений аргументов:

Второе слагаемое

есть сумма составляющих погрешности косвенного измерения, называемых частными погрешностями, а частные производные

- коэффициентами влияния.

Отклонения Δ Xi должны быть взяты из полученных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R. Если частные погрешности косвенного измерения не зависят друг от друга, т. е. являются некоррелированными, и известны доверительные границы погрешности аргументов при одинаковой вероятности, то предельная погрешность (без учета знака) косвенного измерения вычисляется по формуле:

значения частных производных функциональной зависимости определяются при средних значениях аргументов

Этот метод, называемый максимум-минимум, дает значительно завышенное значение погрешности косвенного измерения. Относительно правильная оценка погрешности косвенного измерения, получается, по методу квадратического суммирования

В ряде случаев расчет погрешности косвенного измерения значительно упрощается при переходе к относительным погрешностям. Для этого используется прием логарифмирования и последующего дифференцирования функциональной зависимости. Когда предельная погрешность косвенного измерения, полученная по методу максимума-минимума:

а по методу квадратического суммирования: