Статические моменты сечений

Рис.4.1

Лекция 4. Геометрические характеристики плоских сечений

Общие сведения

Как было показано выше, при растяжении и сжатии площадь поперечного сечения полностью характеризует прочность и жесткость стержня. Возьмем некоторое поперечное сечение бруса (рис. 4.1). Если представить себе сечение состоящим из бесчисленного множества площадок dF, то площадь всего сечения. Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения, имеет размерность L². Отметим два важных свойства: площадь всегда положительна и не зависит от выбора системы координат.

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются.

Статическим моментом S_x сечения относительно оси х называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

, (4.1)

где у - расстояние от элементарной площадки dF до оси х.

Если отождествить площадь с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интеграл (4.1) можно рассматривать как сумму моментов сил относительно оси х. По известной из теоретической механики теореме Вариньона о моменте равнодействующей можно написать

, (4.2)

где площадь сечения F представляет собой равнодействующую, координата у_с - плечо равнодействующей, с - центр тяжести сечения.

Аналогично, статический момент относительно оси у равен

, (4.3)

откуда следуют формулы для определения координат центра тяжести

(4.4)

Статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. В частности, относительно любых центральных осей (проходящих через центр тяжести С обозначаются х_с, у_с) статические моменты. Размерность статических моментов L³. Для сложного сечения, состоящего из n частей, выражения (4.2), (4.3) можно представить в виде

(4.5)

где - статические моменты i -й части сечения относительно осей х и у соответственно.

Таким образом, статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей сечения относительно той же оси.

Пример 1. Определить статический момент полукруга радиусом R (рис. 4) относительно горизонтальной оси z, совпадающей с диаметром, и координату центра тяжести y_c.

Решение: По формуле (4.1) имеем. Выделим на рис. 4.2 на расстоянии y элементарную площадку dF с помощью двух хорд, параллельных оси z, на расстоянии dy друг от друга. Как следует из рис. 4.2

тогда

и