Прямоугольник

Моменты инерции простых сечений.

Рис.4.4.

Моменты инерции сечений.

Рис.4.3

Рис.4.2

Подставляя найденные значения y и dF в выражение S_z, получим

Координата центра тяжести сечения y_c определяется по формуле (4.4.):

Пример 2. Определить положение центра тяжести неравнобокого уголка 160´100´10 (пренебрегая закруглениями его полок) относительно осей z и y, совпадающих с наружными сторонами контура (рис. 4.3).

Найденные значения координат сравнить с табличными значениями по ГОСТ 8510-57.

Решение: Пренебрегая загружением полок уголка, разбиваем фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 4.3. Для первого (1) прямоугольника

Для второго (2) прямоугольника

Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам (4.4):

По данным сортамента с учетом закруглений координаты центра тяжести равны z_c=2,28см; y_c=5,23см.

Для проверки правильности вычислений определим статические моменты относительно центральных осей, которые должны быть равны нулю:

.

Графическая проверка: точка С должна находиться на отрезке С₁С₂.

Моментами инерции сечения называются геометрические характеристики, определяемые интегралами вида:

(4.6)

- осевые (экваториальные) моменты инерции относительно осей х и у соответственно;

(4.7)

- полярный момент инерции сечения относительно данной точки (полюса), где r - расстояние от площадки dF до полюса,

(4.8)

- центробежный момент инерции сечения.

Если полярный момент инерции вычисляется относительно начала системы координат (рис. 4.1), то и

,

следовательно

, (4.9)

т.е. сумма осевых моментов инерции сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку равна полярному моменту инерции этого сечения относительно этой точки.

Размерность моментов инерции L⁴. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является

осью симметрии, равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента ее площади (рис. 4.4), которые имеют одинаковые ординаты у₁=у₂=у и равные по величине, но противоположные по знаку абсциссы х₁=х и х₂=-х. Тогда

. (4.10)

Определим момент инерции сечения относительно оси х₀, проходящей через центр тяжести прямоугольника высотой h и шириной b параллельно основанию (рис.4.5). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси х элементарную полоску высотой dу и шириной b. Площадь этой полоски dF=bdx, расстояние от полоски до оси х равно у. Подставим эти величины в выражение момента инерции относительно оси х (4.6):

. (4.11)

Аналогично, получим:

. (4.12)

Рис.4.5 Очевидно, что