Рациональные формы поперечных сечений при изгибе

Рис. 6.25.

Рис. 6.24.

Рис. 6.23.

Рис. 6.22.

В круглом сечении (рис. 6.22) эпюра касательных напряжений ограничена кривой, имеющей максимум на нейтральной оси. Учитывая, что статический момент полукруга и момент инерции круга

,

получаем

Следовательно, максимальные касательные напряжения в круглом сечении на 33% больше средних напряжений τ=Q/F, по которым, например, обычно проводится расчет заклепок.

Для треугольного сечения с основанием b и высотой h (рис. 6.22), имеем

,

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии y=h/6 от нейтральной линии, то есть в точках средней линии треугольника.

Пример 8. Построить эпюру распределения касательных напряжений для балки двутаврового (№ 12) сечения (рис. 6.23), если Q =10 кН.

Для построения эпюры схематизируем действительное сечение, представив его в виде трех прямоугольников, как показано на рис. 6.23 пунктиром. Проведя произвольную линию mn, параллельную нулевой линии, и перемещая ее вдоль оси y, обнаруживаем, что при этом напряжения в точках этой линии меняются по параболическому закону, так как мы имеем дело с прямоугольниками. Для построения эпюры касательных напряжений вычислим τ в крайних волокнах (линия AB), в месте сопряжения полки со стенкой (точки 1 и 2, причем будем считать, что они расположены бесконечно близко к границам полки, но лежат по разные стороны от этой границы) и в точках нейтральной линии.

На рис. 6.23 все размеры даны в мм, а напряжения – в МПа.

Для точек линии AB ширина сечения равна l, а статический момент равен нулю, так как линия AB не отсекает никакой площади. Таким в точках линии AB касательные напряжения равны нулю.

Для точки 1 статический момент равен

Момент инерции сечения относительно нейтральной оси находим по сортаменту I_z=403 см⁴. Касательное напряжение в точке 1:

Для точки 2 статический момент (с точностью до бесконечно малых величин) остается таким же, но ширина сечения d=0.5 см. Поэтому касательное напряжение в точке 2

Для точек

Следовательно, при переходе от точки 1 к точке 2 касательное напряжение возрастает в 15 раз и на эпюре получается скачок.

Для точек нейтральной линии ширина сечения d=0.5 см, а статический момент следует взять для половины сечения из сортамента S_z^max=38.5 см³. Поэтому

На основании этих данных строим эпюру касательных напряжений для нижней половины сечения. Для верхней половины сечения в силу симметрии профиля относительно оси z эпюра будет симметричной.

Построенная эпюра условна, так как она дает верные значения касательных напряжений только для точек стенки, достаточно удаленных от полок. Вблизи полок касательные напряжения в стенке возрастают, ввиду того, что место сопряжения полки со стенкой является источником концентрации касательных напряжений. В полках же, где отношение высоты к ширине много меньше единицы, возникают касательные напряжения, перпендикулярные направлению Q, и величина их меняется по ширине сечения.

Необходимо отметить также, что формулой Журавского можно пользоваться только в случае прямого изгиба.

При изгибе тонкостенных профилей касательные напряжения определяются по следующей формуле:

где δ - толщина тонкостенного профиля.

На рис. 6.24 построена эпюра τ при изгибе тонкостенного двутавра в вертикальной плоскости симметрии. Вследствие симметрии сечения и нагрузки, касательные напряжения в симметричных точках полок двутавра должны быть также симметричны относительно оси y и будут увеличиваться от края к центру по линейному закону:

.

Вдоль стенки τ изменяются по параболическому закону

и направлены в туже сторону, что и сила Q.

При изгибе двутавра в плоскости второй оси (рис. 6.25) касательные напряжения в стенке равны нулю, а вдоль каждой из полок изменяются по параболическому закону

.

Пример 9. Для балки из пластичного материала, передающей в опасном сечении изгибающий момент M_max=32 кНм, подобрать двутавровое и прямоугольное сечение (h/b=2), если [ σ ]=160 МПа. Сравнить массы подобранных балок.

Момент сопротивления определяется из условия прочности:

Ближайший стандартный двутавровый профиль подбираем по сортаменту:

Для прямоугольного сечения имеем:

Отношение масс подобранных профилей равно отношению площадей поперечных сечений и составляет 3,1, то есть балка прямоугольного сечения более чем в три раза тяжелее балки двутаврового сечения при условии равной их прочности.

Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от простых видов деформации, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y (рис.6.26), напряженное состояние является упрощенным плоским, при котором в окрестности произвольно выбранных точек поперечного сечения действуют нормальные и касательные напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек должно быть сформулировано на основе какого-либо уже известного критерия прочности.

Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (рис.6.26), а наибольшие касательные напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям

Рис.6.26. Распределение нормальных и касательных напряжений по контуру сечения

Рис.6.27. К сравнительной оценке модулей напряжения

Покажем, что доминирующая роль в расчетах на прочность балки, подвергнутой поперечному изгибу, будет принадлежать расчету по нормальным напряжениям. Для этого оценим порядок max и max на примере консольной балки, показанной на рис. 6.27:

так как

Тогда

откуда max << max, а поскольку то доминирующим в этом случае будет расчет по нормальным напряжениям и условие прочности, например, для балки из пластичного материала, работающей на прямой изгиб, как и в случае чистого изгиба будет иметь вид:

Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки минимальной материалоемкости нужно стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равных допускаемым или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение балки при изгибе должно удовлетворять условию равнопрочности растянутой и сжатой зон балки. Иными словами необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения (max) и наибольшие напряжения сжатия (max) одновременно достигали допускаемых напряжений и.

Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие:, условие равнопрочности выполняется для сечений, симметричных относительно нейтральной оси. К таким сечениям относится, например, прямоугольное сечение (рис.6.24, а), при котором обеспечено условие равенства. Однако в этом случае материал, равномерно распределенный по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы получить более рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра (рис.6.28, б), у которого возможно большая часть материала сосредоточена на полках (горизонтальных массивных листах), соединенных стенкой (вертикальным листом), толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутаврому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 6.28, в).

Рис.6.28. Распределение нормальных напряжений в симметричных сечениях

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 6.29):

которое вытекает из требования

Рис.6.29. Распределение напряжений несимметричного профиля сечения балки.

а) двутавр, б) швеллер, в) неравнобокий уголок, г) равнобокий уголок
Рис.6.30. Используемые профили сечений:

Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены показанные на рис.6.30: а— двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г —равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер, зетовый профиль и др. Употребляютсятакже холодногнутые замкнутые сварные профили (рис.6.31).

Рис.6.31. Замкнутые сварные профили

Поскольку по соображениям технологии сортамент стандартных профилей по размерам ограничен (например, наибольший прокатный двутавр согласно ГОСТ 8239—72 имеет высоту 550 мм), то для больших пролетов приходится применять составные (сварные или клепаные) балки.

Пример 10. Для заданных двух схем балок (рис.6.32) требуется написать выражения Q_у, М_х для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q_у, М_х, найти и подобрать: для схемы а) деревянную балку круглого поперечного сечения при МПа; для схемы б) стальную балку двутаврового поперечного сечения при МПа. При М = 20 кН/м,

Р = 20 кН, q = 8 кН/м.