Отношения порядка. 1Как определяется отношение эквивалентности?

Классы эквивалентности

Отношения эквивалентности

Упражнения

Литература

Контрольные вопросы

1 Как определяется отношение эквивалентности? Приведите примеры.

2 Что такое классы эквивалентности?

3 Как определяется отношение порядка? Приведите примеры.

4 Какое отношение называется отношением строгого порядка? Приведите примеры.

5 Какое отношение называется отношением нестрогого порядка? Приведите примеры.

6 Какой порядок называется линейным?

7 Какой порядок называется древесным?

8 Какие множества называются упорядоченными? частично упорядоченными?

9 Как изображаются отношения порядка?

10 Что такое квазипорядок?

11 Какое множество называется ограниченным?

12 Как определяется отношение сходства (толерантности)? Приведите примеры.

Гончарова Г. А., Мочалин А. А. Элементы дискретной математики: Учебное пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2004. – 128 с. – (Серия «Профессиональное образование»). Гл. 1. С. 19 – 24.

Дунаев В. В. Занимательная математика. Множества и отношения. – СПб.: БХВ-Петербург, 2008. – 336 с.: ил. Ч. II. Гл. 5. С. 172-242.

Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс / И. Н. Антипов, Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, А. Г. Мордкович.– М.: Просвещение, 1979. – 191 с., ил. С. 173 – 191.

Кузьмин О. В. Комбинаторные методы решения логических задач: учеб. пособие / О. В. Кузьмин. – М.: Дрофа, 2006. – 187, [5] с.: ил. Гл 3. §2.2. С.38 – 48.

Спирина М. С. Дискретная математика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с. Гл. 1. С. 38 – 45.

127 Какие из отношении в упражнении 113 являются отноше­ниями эквивалентности?

128 Является ли отношением эквивалентности «иметь одинако­вые остатки при делении на 7»?

129 Какие отношения эквивалентности можно ввести в множе­ство учеников вашего класса?

130 Является ли отношением эквивалентности в множестве учеников вашего класса «участвовать в одной спортивной секции»?

131 Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности:

а) равноудалениость от Москвы (в множестве городов);

б) принадлежность одному роду (в множестве живых существ);

в) быть двоюродным братом или сестрой (в множестве людей);

г) иметь общую границу (в множестве государств)?

132 На рисунке изображены треугольники:

Разбейте их на классы эквивалентности:

а) по свойствам углов;

б) по свойствам сторон.

133 Можно ли разбить множество треугольников на такие клас­сы: разносторонние, равнобедренные и равносторонние?

134 Можно ли разбить множество целых чисел на подмноже­ства положительных и отрицательных чисел?

135 На плоскости проведена прямая l. Можно ли сказать, что множество всех прямых на этой плоскости разбивается на три клас­са: параллельные данной прямой, перпендикулярные ей и пересе­кающиеся с этой прямой?

136 На какие классы разбивается множество натуральных чи­сел отношением «иметь одинаковые остатки при делении на 7»?

137 На какие множества разбивается множество учащихся от­ношением «учиться в одной, школе»?

138 Можно ли классифицировать учащихся на отличников, пионеров и мальчиков?

139 На плоскости проведена окружность. Можно ли разбить множество всех окружностей на этой плоскости на два класса: касающихся этой окружности и пересекающихся с ней в двух точ­ках? Какой класс окружностей надо еще добавить?

140 На какие классы разбивается множество русских слов?

141 На какие классы разбивается множество слов предложе­ния?

142 На какие классы разбивается множество водоемов?

143 Пусть отношение R рефлексивно и транзитивно. Докажи­те, что пересечение R Ç – отношение эквивалентности. Яв­ляется ли эквивалентностью R È ?

144 Является ли отношением эквивалентности равносильность уравнений?

145 Отношение параллельности рефлексивно, симметрично и транзитивно. На какие классы разбивается множество прямых ли­ний на плоскости этим отношением? Дайте определение направле­ния на плоскости.

146 Отношение концентричности окружностей рефлексивно, симметрично и транзитивно. На какие классы разбивается множе­ство окружностей на плоскости этим отношением? Установите би­ективное соответствие между множеством точек плоскости и множе­ством классов эквивалентности.

147 Назовем два существительных взаимозаменяемыми, если в любом предложении, где встречается одно из этих существитель­ных, можно заменить его другим существительным, стоящим в той же грамматической форме, и предложение не утратит грамматиче­ской правильности. Например, слова «интеграл» и «утюг» взаимо­заменяемы: заменяя в предложении «интеграл суммы равен сумме интегралов» слово «интеграл» на «утюг», получаем грамматически правильное предложение «утюг суммы равен сумме утюгов». Точно так же, заменяя в предложении «утюг стоял на столе» слово «утюг» на «интеграл», получаем грамматически правильное предложение «интеграл стоял на столе». А слова «утюг» и «сумма» не являются взаимозаменяемыми – нельзя сказать «сумма стоял на столе».

Докажите, что отношение взаимозаменяемости слов рефлексив­но, симметрично и транзитивно. Разбейте на классы эквивалент­ности множество слов:

{дядя, няня, маэстро, мышь, животное, день, пальто, поле}.

148 На рисунке изображен граф от­ношения «больше» в множестве чисел:

Пра­вильно ли он построен?

149 Является ли отношением поряд­ка отношение «гора х не выше горы у»?

150 В предложении «Петр решил труд­ную и интересную задачу по математике» проведите стрелку от каждого слова к уп­равляемому им слову (или словам). Допол­ните получившееся отношение до отношения строгого порядка.

151 В предложении

«В песчаных степях аравийской земли

Три гордые пальмы высоко росли»

проведите стрелку от каждого слова к согласованному с ним слову. Какое получилось при этом отношение: порядка или эквивалентности?

152 Какие из отношений в упражнении 113 являются отноше­ниями строгого порядка, какие – нестрогого порядка, какие из них линейны, а какие нелинейны? Есть ли среди них отношения квазипорядка?

153 Является ли отношением порядка отношение «лежать внутри» для геометрических фигур?

154 Сколько различных осмысленных предложений можно со­ставить, меняя порядок слов в предложении «Он не посадил старика на осла»?

Отношения сходства (толерантности)

155 Какие из отношений упражнений 113 и 114 являются отношениями сходства, но не являются отношениями эквивалент­ности?