Отношения сходства (толерантности)

Толерантностью называется рефлексивное и симметричное бинарное отношение на одном множестве.

Это математическое уточнение отношения сходства (похожести) между объ­ектами, хотя основное значение латинского слова tolerantia – терпение. Данное аксиоматическое определение отношения сходства ввел английский математик Зиман, изучавший модели зрительного аппарата, открыв тем са­мым новый подход к изучению отношений. Дело в том, что традиционный подход заключался в предварительном определении меры сходства (расстоя­ния между объектами), на основе которой затем исследовались взаимное расположение и группировка объектов. Новый подход открывал возмож­ность изучать сходство независимо от того, как конкретно оно определено. Большой вклад в изучение сходства по-новому внес в конце 1960-х годов наш соотечественник Ю, А. Шрейдер. Рассмотрим, почему определенное выше отношение толерантности моделирует интуитивное понятие сходства.

Рассмотрим примеры отношения сходства, обладающего только рефлексивностью и симметричностью.

Две новые автомашины одной и той же марки, одного года выпуска и одинакового цвета полностью могут заменить друг друга. Но такие же две автомашины, имеющие разный цвет, лишь похожи друг на друга, и может слу­читься, что покупатель предпочтет купить одну из этих машин, а не другую. Еще меньше сходства между автомашинами одной и той же марки, но разных годов выпуска, а уж легковая машина и самосвал похожи лишь общим строением (обе машины имеют мо­тор, колеса, шасси, руль, тормоз и т. д.), но по общему виду совсем не похожи друг на друга.

Во-первых, очевидно, что любой объект похож на самого себя, поэтому мы принимаем аксиому, что отношение сходства рефлексивно. Во-вторых, если первый объект похож на второй, то второй похож на первый. Другими сло­вами, два объекта сходны или не сходны независимо от порядка, в котором они сравниваются. Поэтому мы принимаем аксиому симметричности сходст­ва. Но вряд ли можно из того, что х похож на у и у похож на z, сделать, безоговорочное заключение о сходстве х и z. Известны серии карикатур, в которых каждые два соседних рисунка почти неотличимы друг от друга, но в результате человеческое лицо превращается, например, в грушу. Таким об­разом, отношение сходства обладает лишь свойствами рефлексив­ности и симметричности, а транзитивным его считать нельзя.

Приведем примеры отношений сходства.

Пример 1. Назовем два слова сходными, если они состоят из одинако­вого числа букв, причем либо совпадают, либо отличаются лишь одной буквой. Например, сходны слова «роза» и «коза», равно как и слова «коза» и «коса». Однако слова «роза» и «коса» не являются сходными, так как различаются в двух буквах. С помощью пере­хода от слова к сходному с ним слову можно «превратить муху в слона». Вот одна из цепочек:

Муха – мура – тура – тара – кара – каре – кафе – кафр – каюр – каюк – крюк – крок – срок – сток – стон – слон.

Пример 2. Отношение «быть другом» в множестве людей тоже является отношением сходства (если, конечно, считать, что каждый чело­век сам себе друг). Оно рефлексивно и симметрично, но не яв­ляется транзитивным (не всякий друг моего друга дружит со мной).

Пример 3. Как известно, глаз обладает ограниченной разрешающей способностью. Так, если взять несколько точек, расположенных на прямой на некотором расстоянии s друг от друга, то при достаточно малом s мы не сможем различить две соседние точки, но достаточно удаленные точки окажутся различимыми.

Пример 4. Обычно люди, "взвешивая" предмет в руке, не ощущают разницу в 1 г, и поэтому они не различают предметы массой, например, 10 и 11, 11 и 12, 12 и 13 г, но могут различить 10 и 13 г.

Пример 5. Схожие объекты могут накапливать незначительные различия так, что в их ряду можно найти совершенно непохожие объекты:

Гравюра голландского художника Эсхера "День и ночь" (вверху)

и последовательные трансформации фигур (внизу) показывают,

как накопление незначительных различий в сходных объектах

приводит к совершенно непохожим объектам

Соответствие между типами отношений и их свойствами является, по суще­ству, определением типов отношений. Данное соответствие само является бинарным отношением и, следовательно, может быть представлено в виде матрицы, графа и связанных структур классов и ко-классов. В графе данного соответствия штриховыми линиями отмечено то, что асим­метричность и антисимметричность для строгого порядка выводимы из ос­тальных его свойств и, следовательно, их не обязательно включать в опреде­ление этого отношения. В скобках указаны условные обозначения типов отношений и их свойств, использованные в изображении структур классов и ко-классов. Из рисунка видно, что некоторые отношения являются част­ными случаями других. Так например, эквивалентность является частным случаем толерантности, поскольку она кроме свойств толерантности (реф­лексивности и симметричности) имеет еще и свойство транзитивности. В то же время эквивалентность – частный случай квазипорядка, поскольку до­полнительно к его свойствам обладает еще и симметричностью.