Условия осуществимости. Рассматривается импульсная система с дискретным корректирующим звеном, изображенная на рис.8.1

Рассматривается импульсная система с дискретным корректирующим звеном, изображенная на рис.8.1.

Рисунок 8.1 –Импульсная система с цифровым регулятором

Передаточная функция замкнутой системы

==, (8.1)

где – передаточная функция приведенной непрерывной неизменяемой части системы совместно с экстраполятором – устройством сопряжения цифровой и непрерывной частей системы (передаточную функцию иногда будем называть просто передаточной функцией неизменяемой части системы).

– передаточная функция цифрового регулятора, определяющего закон управления (цифровой регулятор называют также цифровым или дискретным корректирующим звеном).

Предположим, что хотим реализовать некоторую желаемую передаточную функцию

=

путем выбора передаточной функции дискретного регулятора .

Подставляя в (8.1) вместо передаточную функцию и разрешая уравнение относительно , находим передаточную функцию регулятора

=. (8.2)

Передаточную функциюможно реализовать, если степень ее числителя не превышает степени знаменателя.

Пусть передаточная функция приведенной непрерывной части системы равна

=. (8.3)

Обозначим – степень числителя, – степень знаменателя .

Требуемая передаточная функция цифрового регулятора (8.2) при этом перепишется в виде

=×. (8.4)

Передаточную функцию представим в виде

=.

При этом порядок числителя обозначим m, а порядок знаменателя – n.

После подстановки последнего выражения в (8.4), для передаточной функции цифрового регулятора получаем

=×.

Порядок полиномов числителя и знаменателя определяется следующим образом:

: .

Разность порядков знаменателя и числителя для ее реализуемости должна быть больше или равна нулю, т.е.

+n––m=(n–m)–(–)³0. (8.5)

Иначе, условие реализуемости регулятора выполняется, если разность порядков знаменателя n и числителя m желаемой передаточной функции системы равна или больше разности порядков знаменателя и числителя передаточной функции приведенной непрерывной части системы .

Обычно разность порядков передаточной функции равна единице. Тогда и разность порядков должна быть не меньше единицы.

Если по каким–либо причинам потребовать, чтобы порядок m числителя совпадал с порядком числителя , то порядок системы n должен быть не менее порядка приведенной непрерывной части (порядок системы, звена, и т.д. определяется порядком знаменателя соответствующей передаточной функции).

Если неизменяемая часть системы содержит элементы с временным запаздыванием , которое для простоты принимаем кратным периоду квантования, т.е.

=T, =1, 2, …,

то передаточная функция неизменяемой части системы будет

=. (8.6)

В этом случае передаточная функция цифрового регулятора (см.8.2) будет иметь вид

=×. (8.7)

Из последнего уравнения видно, что регулятор должен обеспечить упреждение на тактов, что физически невозможно. Следовательно, цифровой регулятор не реализуем при произвольно заданной передаточной функции.

Каким же условием должна отвечать передаточная функция для обеспечения реализуемости регулятора? Очевидно, что условие реализуемости сводится к тому, чтобы желаемая передаточная функция содержала в качестве сомножителя , т.е. чтобы

= .

В этом случае, как следует из (8.7), получим

=×. (8.8)

т.е., от регулятора не требуется обеспечение упреждения выходного сигнала по отношению ко входному.

Таким образом

если неизменяемая часть системы обладает запаздыванием, то таким же запаздыванием должна обладать и замкнутая система, что должно учитываться при задании ее желаемой передаточной функции .