Методы анализа основной тенденции развития

Одной из важнейших задач статистики является определение в ряде динамики основной тенденции развития (тренда). Тренд – плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний. Для выявления тренда применяются 3 основных метода:

1. метод укрупнения интервалов;

2. метод скользящей средней;

3. аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов

Смысл метода заключается в том, что мы переходим от менее крупных интервалов к более крупным (от данных месяца к квартальным данным, от квартальных – к годовым и т.д.). Уровни новых укрупненных интервалов вычисляются путем суммирования уровней за периоды, вошедшие в новый интервал, или путем вычисления среднего уровня по укрупненному интервалу.

Пример: Динамика объема продаж телевизоров в 2002 году

месяцы
объем продаж в месяц	2,0	2,2	2,1	3,0	2,9	2,6	2,6	3,2	2,9
объем продаж в квартал	6,3	8,5	8,7
средний объем продаж	2,1	2,7	2,9

Метод скользящей средней

Сущность метода заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа данных, обычно нечетного, в первых по счету уровнях ряда, затем из такого же числа уровней ряда, но начиная со второго по счету, далее начиная с третьего и т.д., т.е. средняя как бы скользит по динамическому ряду, передвигаясь на один срок.

Пример: Данные урожайности зерновых культур

Год	Фактический уровень	Скользящая средняя
Трехлетняя	Пятилетняя
	15,4	-	-
	14,0		-
	17,6		14,7
	15,4	14,6	15,1
	10,9	14,6	15,2
	17,5	14,15	17,1
	15,0	17,0	16,8
	18,5	15,9	17,6
	14,2	15,9	-
	14,9	-	-

Если применяется четная скользящая средняя (4-хлетняя, 6-тимесячная и т.д.), то после определения скользящей средней производят центрирование, т.е. полученные средние включают в интервал, состоящий из двух уровней, и находят среднюю в каждом интервале. Эти средние и будут окончательными центрированными средними.

Аналитическое выравнивание

Цель аналитического выравнивания – на основе полученного тренда получить обобщенную статистическую оценку закономерности развития социально-экономического явления, т.е. построить математическую модель, адекватно характеризующую социально-экономический процесс.

В основе метода лежит функция времени – теоретическая функция .

Определение теоретических уровней () производится на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом отражает динамику вашего явления. Выбор типа модели зависит от цели исследования и от графического изображения тренда. Выбор математической функции можно осуществлять по показателям динамики:

1. Если развитие равномерное (), то явление описывается прямой:

2. Если развитие равноускоренное или равнозамедленное, темп прироста 0, то уравнение описывается параболой второго порядка:

3. Если развитие уровней происходит с переменным ускорением или замедлением, темп прироста = var, то график будет иметь вид параболы третьего порядка:

Пример аналитического выравнивания:

Допустим, явление развивается равномерно и описывается линейной функцией. Нужно рассчитать параметры уравнения и (коэффициенты регрессии).

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов:

Этому условию будет удовлетворять следующая система двух линейных (нормальных) уравнений:

,

где , - искомые параметры уравнения;

t – время (порядковый номер периода);

n – число уровней;

у – фактический уровень ряда.

Решается эта система при следующем условии:

В этом случае центральный период (интервал или момент времени) =0.

Для четного ряда динамики:

-5	-3	-1	+1	+3	+5

Для нечетного ряда:

-3	-2	-1

При подстановке в исходную системуполучаем:

Полученныеи подставляем в уравнение .

По полученному уравнению, подставляя вместо t исходные теоретические уровни. По теоретическим уровням строим функцию или график функции и визуально определяем совпадение или несовпадение наших кривых. Полученный график функции будет характеризовать временной тренд или основную тенденцию изучаемого явления. Правильность расчетов можно определить с помощью

(расхождение не больше 2%)

Для оценки адекватности выбранной математической модели (нескольких моделей) рассчитывают показатель адекватности математической модели, который называется стандартизированной ошибкой аппроксимации:

По величине этой ошибки судят об адекватности полученной математической модели. Если мы подобрали к тренду несколько моделей, то более адекватной будет та, у которой ошибка аппроксимации будет меньше.