Кручение бруса прямоугольного сечения

Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля

Поперечное сечение тонкостенных авиационных конструкций в ряде случаев, например, сечения крыла или фюзеляжа, имеют форму многосвязного сечения, т.е. сечение имеет не одну, а большое число полостей. В этом случае решение осложняется. Для определения напряжений и угла закручивания приходится решать систему линейных алгебраических уравнений; число уравнений равно числу внутренних полостей сечения. Рассмотрим кручение многосвязного профиля крыла, приведенного на рис. 3.49.

Рисунок 3.49

Схема расчета остается той же самой при любом числе внутренних полостей и форме сечения. На рисунке приведено сечение крыла, которое схематизировано тремя тонкостенными контурами. Введем обозначения:

F₁, F_{2 ,} F₃ – площади, ограниченные средними линиями контуров;

δ₁, δ₂, δ₃ – толщины стенок контуров;

δ₁₂, δ₂₃- толщины стенок между контурами;

q_1, q₂, q₃ – потоки касательных напряжений в контурах.

Поток касательных напряжений, возникающий внутри области, занятой сечением, можно представить, как сумму трех потоков, каждый из которых охватывает один из контуров. Поток в каждой из внутренних стенок представим как разность двух основных потоков, возникающих в этой стенке:

q₁₂= q₁ – q₂,

q₂₃= q₂ – q₃.

Для решения задачи воспользуемся зависимостями для определения относительного угла закручивания и касательных напряжений при кручении бруса тонкостенного сечения:

M_x= τ(s)´δ(s)´2F_к =q(s)´2F_к

После преобразований получим:

(1)

В силу совместности деформирования относительные углы закручивания каждого из контуров θ₁, θ₂ θ₃ равны между собой и равны относительному углу закручивания сечения в целом θ:

θ= θ₁= θ₂=θ₃

Применим соотношение (1) для каждого из контуров:

Дополним систему трех уравнений уравнением:

M_x = M_1x + M_2x + M_3x = 2q₁F₁ + 2q₂F₂ + 2q₃F₃, где:

M – полный скручивающий момент;

M_1x, M_2x, M_3x – моменты, передаваемые каждым из контуров.

Полученную систему уравнений преобразуем к виду:

2GF₁θ=(q₁ S_ABC)/δ₁ + ((q₁-q₂) S_CA)/δ₁₂

2GF₂θ=((q₁ - q₂) S_AC)/δ₁₂ + (q₂ S_CD+EA)/δ₂₄ + ((q₂-q₃) S_DE)/δ₂₃

2GF₃θ = ((q₂-q₃) S_ED)/δ₂₃ + (q₃ S_DHE)/δ₃₄

M_x = 2q₁ F₁ + 2q₂ F₂ + 2q₃ F₃, где

S_ABC, S_CA, S_CD+EA, S_DE, S_DHE – длины средних линий соответствующих контуров.

Решение полученной системы четырех уравнений позволяет определить неизвестные потоки касательных напряжений q₁, q₂, q₃ и относительный угол закручивания сечения θ.

Определение напряжений в брусе с прямоугольным поперечным сечением не возможно методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что при кручении такого бруса упрощающая гипотеза плоских сечений оказывается неприемлемой. Это подтверждается следующим экспериментом (рис. 3.50).

Рисунок 3.50

Если на поверхность бруса нанести мелкую прямоугольную сетку, то после закручивания бруса поперечные линии сетки заметно искривятся, следовательно, искривлены будут и поперечные сечения бруса. Таким образом, при распределении углов сдвига необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но также и местный перекос, связанный с искривлением сечений, который определяется уже функцией не одного переменного ρ как для сечений кольцевого сечения, а двух переменных х и у.

Распределение касательных напряжений по поперечному сечению полученное методами теории упругости приведено на рисунке (рис. 3.51).

Рисунок 3.51

Наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон:

Mx

Касательные напряжения в середине короткой стороны:

τ_B = η´τ_max

Относительный угол закручивания бруса:

Геометрическая жесткость на кручение:

Коэффициенты α, β, η являются функцией отношения сторон a/b и определяются таблицей 3.1.

Таблица 3.1

a/b		1,5	1,75		2,5						∞
α	0,208	0,231	0,239	0,246	0,258	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,141	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,299	0,307	0,313	0,333
η	1,000	0,859	0,820	0,795	0,766	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,742