Напряжения относительно главных центральных осей сечения

Раздел 6 Косой изгиб прямого бруса

Расслоение эпюр

Для сложных эпюр от основных нагрузок возникают затруднения в определении площади ω и координат центра тяжести y_c. В таких случаях удобно воспользоваться принципом независимости действия сил и суммарную эпюру изгибающих моментов от основных нагрузок представить как сумму эпюр от каждой силы в отдельности, включая реакции опор. При этом удобно одно из сечений принять условно за неподвижное и строить эпюры от каждой из нагрузок, приближаясь справа и слева к этому сечению. Целесообразно за неподвижное принимать сечение в месте перелома на эпюре единичных нагрузок.

Пример 3.17 Определить прогиб сечения С двухопорной балки (рис. 3.88a) нагруженной распределенной и двумя сосредоточенными нагрузками. Жесткость балки постоянная EI_z.

Решение.

1. Определяем реакции опор (рис. 3.88б):

,

откуда:

Проверка:

2. Запишем аналитические выражения изгибающих моментов на каждом участке.

,

,

,

Строим эпюру моментов от основных нагрузок (рис. 3.88с).

Рисунок 3.88

3.Прикладываем в сечении С единичную силу (рис.3.88д) и определяем реакции опор:

,

откуда:

Проверка:

4. Запишем аналитические выражения изгибающих моментов на каждом участке.

,,

Строим эпюру моментов от единичного усилия (рис. 3.88е).

5. Расслаиваем эпюру от основных нагрузок, для чего вводим условную заделку в сечении перелома эпюры от единичного усилия (рис. 3.88ж).

Строим эпюры моментов от каждой силы в отдельности (рис. 3.88з, рис. 3.88к, рис. 3.88м).

6. Определяем площади расслоенных эпюр ω_i и ординаты единичных эпюр y_ci, находящиеся под центром тяжести основных эпюр (табл. 3.4).

Таблица 3.4

№	ωi	yci

Прогиб сечения С определяем по правилу Верещагина:

Выше рассматривали плоский прямой изгиб, при котором плоскость изгиба и силовая плоскость совпадали. Косой изгиб прямого бруса возникает в случае, когда плоскость изгиба не совпадает с плоскостью приложения внешних нагрузок. При этом предполагается, что внешние нагрузки не вызывают крутящих моментов.

Рассмотрим прямую балку произвольного поперечного сечения, нагруженную внешним изгибающим моментом, который лежат в плоскости составляющей угол φ_M с осью, проходящей через центр тяжести сечения «y» (рис. 3.89).

Рисунок 3.89

Предположим, что ось «z_n» является нейтральной осью относительно заданной внешней нагрузки. Угол между нейтральной осью «z_n» и осью «z» пусть составляет φ_n. Задача заключается в определении угла наклона нейтральной оси φ_n и напряжений s в любой точке сечения. Для поперечного изгиба напряжения в любой точке сечения пропорционален расстоянию от нейтральной оси y_n, т.е.:

s=k y_n

Из рисунка:

y_n= (y – z tgφ_n) cosφ_n = y cosφ_n – z sinφ_n

Таким образом:

s = k(y cosφ_n – z sinφ_n) (1)

Момент относительно оси «z»:

, или

(2)

Аналогично определим момент относительно оси «y_c»:

, или

(3)

Предположим, что оси «y-z» являются главными центральными осями сечения «y_c‑z_c». В этом случае центробежный момент инерции сечения равен нулю:

Подставим в соотношения 2 и 3, получим:

(4)

(5)

Из соотношений 4, 5 определим sinφ_n, cosφ_n и подставим в выражение 1, получим соотношение для определения изгибных напряжений в точке сечения:

, где

(6)

(7)

Разделим соотношение 5 на соотношение 4 и, учитывая соотношения 6 и 7, получим выражение для определения тангенса угла наклона нейтральной оси к главной центральной оси φ_n: