Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой и поперечной нагрузками

Упругая потеря устойчивости стержня с первоначальной кривизной

Упругая потеря устойчивости стержня, нагруженного осевой нагрузкой с эксцентриситетом

Рассмотрим длинный упругий стержень, нагруженный эксцентрично сжимающей силой Р (рис. 6.6).

Рисунок 6.6

При увеличении сжимающего усилия, стержень будет изгибаться. При малых прогибах деформированное состояние оси стержня будет описываться дифференциальным уравнением:

(1)

Примем:

, тогда

получим неоднородное дифференциальное уравнение:

Общий интеграл однородного уравнения:

Частное решение однородного уравнения:

Таким образом, решение уравнения примет вид:

Граничные условия: y (0) = 0, y (l) = 0.

Для определения констант А и В, удовлетворим решение граничным условиям:

В –Δ = 0

A sin αl + B cos αl – Δ = 0, откуда

В = Δ

Окончательно прогиб определяется соотношением:

Дважды продифференцируем, получим:

Подставим выражение в соотношение 1, получим изгибающий момент:

Максимальный прогиб получим при x = l /2, т.е.:

Рассмотрим длинный упругий стержень с первоначальной кривизной, нагруженный сжимающей силой Р (рис. 6.7).

Рисунок 6.7

При увеличении нагрузки первоначальная кривизна стержня будет увеличиваться. Прогиб стержня, от возникающего изгибающего момента:

y_изг(x) = y(x) - y₀(x)

При малых прогибах деформированное состояние оси стержня будет описываться дифференциальным уравнением:

Обозначим, тогда уравнение упругой линии примет вид:

(1)

Решение уравнения обычно возможно при первоначальной форме описываемой синусоидой, параболой или кругом. Определим отклонение и изгибающий момент для стержня с шарнирно закрепленными краями и синусоидальной первоначальной кривизной:

, где

δ - малое первоначальное отклонение в середине стержня.

Подставим y₀(x) в уравнение упругой линии (1) получим:

(2)

Решение однородного уравнения:

y_оо(x) = A sinαx +B cosαx

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Подставим в уравнение 2, получим:

, откуда

Общее решение:

Удовлетворим граничным условиям, получим:

при x = 0 y = 0, поэтому B = 0;

при x = l /2 dy/dx =0, поэтому A = 0.

Следовательно:

, где

Максимальное отклонение при x=l /2:

y_max = δ P_кр (P_кр-P)

Максимальный изгибающий момент при x=l /2:

M_max = δ P P_кр (P_кр-P)

В случае комбинированного действия осевых и поперечных нагрузок возникает задача упругой потери устойчивости стержня, которая часто носит название задачи продольно-поперечного изгиба стержня.

Рассмотрим деформирование стержня, на который одновременно действуют поперечная нагрузка q(х) и продольная сжимающая сила S (рис. 6.8).

Рисунок 6.8

Пока стержень прямой, продольная сила S вызывает сжатие; как только стержень изогнется, сила S создает в сечении стержня изгибающий момент.

Предполагая, что прогибы малы и изгиб происходит в одной из главных плоскостей стержня, можно использовать дифференциальное уравнение изгиба:

Изгибающий момент М_пп(х) равен сумме изгибающих моментов от поперечных нагрузок М_п(х) и от продольной силы S:

М_пп(х) = М_п(х) – S×y(x)

Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба:

Введем обозначение

, тогда уравнение принимает вид:

(1)

Интегрируя уравнение и удовлетворяя общее решение граничным условиям, можно определить уравнение упругой линии стержня.

Пример 6.2

Рассмотрим пример применения изложенного подхода. Балка, лежащая на двух шарнирных опорах, одна из которых подвижная, а другая неподвижная, сжимается силой S, приложенной с эксцентриситетом е (рис. 6.9). Изгибная жесткость балки EI_z. Определить критическое значение продольного усилия S_кр.

Рисунок 6.9

Решение.

В данном случае поперечная нагрузка вызывает изгибающий момент:

M_п = S e

Уравнение (1) принимает вид:

Решение уравнения определяет зависимость прогиба стержня:

Удовлетворим граничным условием:

при x = 0 y = 0, поэтому B = -e;

при x = l y =0, поэтому A =.

Следовательно, уравнение упругой линии принимает вид:

Прогиб стремится к бесконечности при:

α l = n π, или