double arrow

Коэффициент эластичности как характеристика силы связи фактора с результатом

3

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %. Коэффициент эластичности рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения х:

.

Различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.

Обобщающий коэффициент эластичности рассчитывается для среднего значения :

и показывает, на сколько % изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1 % относительно своего среднего уровня.

Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения х = х0:

и показывает, на сколько % изменится у относительно уровня у(х0) при увеличении х на 1 % от уровня х0.

В зависимости от вида зависимости между х и у формулы расчета коэффициентов эластичности будут меняться. Основные формулы приведем в таблице.

Вид функции y(x) Точечный коэффициент Эхо Средний коэффициент
Линейная, Эхо =
Парабола, Эхо =
Гипербола, Эхо =
Степенная,   Эхо = b  
Показательная, Эхо =

Только для степенных функций коэффициент эластичности представляет собой постоянную независимую от х величину. Именно поэтому степенные функции широко используются в эконометрических исследованиях. Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1 %. Так, если зависимость спроса у от цен х характеризуется уравнением вида: , то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,5 %.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Например, бессмысленно определять, на сколько % изменится заработная плата с ростом возраста рабочего на 1 %. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наибольшего R2), не может быть экономически интерпретирована.

Пример 1. Анализируется прибыль предприятия Y в зависимости от расходов на рекламу Х. По наблюдениям за 9 лет получены следующие данные:

Y
X 8,8 1,0 1,8 2,5 4,0 5,7 7,5 8,3 8,8

а) постройте корреляционное поле и выдвиньте предположение о формуле зависимости между рассматриваемыми показателями;

б) оцените по МНК коэффициенты линейной регрессии и оцените качество построенной регрессии;

в) оцените по МНК коэффициенты квадратичной регрессии и оцените её качество.

Какую из моделей вы предпочтете?

Решение

1) Построим поле корреляции, используя «Мастер диаграмм»


2) Построим уравнение линейной регрессии .

ВЫВОД ИТОГОВ            
               
Регрессионная статистика            
Множественный R 0,751709            
R-квадрат 0,565066            
Нормированный R-квадрат 0,502933            
Стандартная ошибка 4,742604            
Наблюдения            
               
Дисперсионный анализ          
df SS MS F Значимость F    
Регрессия 204,554 204,554 9,094402 0,019505    
Остаток 157,446 22,49229        
Итого          
               
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0%
Y-пересечение 8,859876 2,846918 3,112094 0,017031 2,127985 15,59177 2,127985
x 1,590622 0,527448 3,015693 0,019505 0,343405 2,837839 0,343405

Средняя ошибка аппроксимации составит 30,9 % > 8-10 %.

3) Построим уравнение квадратичной зависимости

ВЫВОД ИТОГОВ            
               
Регрессионная статистика            
Множественный R 0,992323            
R-квадрат 0,984706            
Нормированный R-квадрат 0,979607            
Стандартная ошибка 0,960608            
Наблюдения            
               
Дисперсионный анализ          
df SS MS F Значимость F    
Регрессия 356,4634 178,2317 193,149 3,58E-06    
Остаток 5,536609 0,922768        
Итого          
               
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0%
Y-пересечение -0,98655 0,959919 -1,02774 0,343709 -3,33538 1,362291 -3,33538
x 8,470654 0,546761 15,49244 4,58E-06 7,132779 9,808529 7,132779
x^2 -0,7221 0,05628 -12,8306 1,38E-05 -0,85982 -0,58439 -0,85982

Средняя ошибка аппроксимации составит 4,5 % < 8-10 %.

4) Проведём оценку существенности различий R2, вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t – критерий Стьюдента:

,

где :

, , , , .

Т.к. tнабл < tкр, то различия между рассматриваемыми показателями корреляции несущественны и, следовательно, возможно применение линейной регрессии.

Вывод: лучшим уравнением по совокупности показателей является квадратичная регрессия.

Замечание. Мастер диаграмм. Тип – точечная. Диаграмма – добавить линию тренда…


Пример 2.Анализируется индекс потребительских цен Y по объему денежной массы Х на основании данных с 1981 по 1997 год. Необходимо:

1) построить корреляционное поле;

2) построить регрессии: У на Х; Y на lnX; lnY на Х; lnY на lnX;

3) проинтерпретировать коэффициенты регрессии для каждой из моделей;

4) по каждой из моделей определить эластичность Y по Х;

5) определить целесообразность выбора предложенных моделей.

Решение

1) построим корреляционное поле


2) строим уравнения всех регрессий:

ВЫВОД ИТОГОВ          
             
Регрессионная статистика          
Множественный R 0,976836          
R-квадрат 0,954209          
Нормированный R-квадрат 0,951157          
Стандартная ошибка 4,313545          
Наблюдения          
             
Дисперсионный анализ        
df SS MS F Значимость F  
Регрессия 5816,018 5816,018 312,5771 1,87E-11  
Остаток 279,1 18,60667      
Итого 6095,118        
             
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 38,01618 3,464674 10,97251 1,45E-08 30,6314 45,40095
x 0,265648 0,015025 17,67985 1,87E-11 0,233622 0,297674
ВЫВОД ИТОГОВ          
             
Регрессионная статистика          
Множественный R 0,976831          
R-квадрат 0,954198          
Нормированный R-квадрат 0,951144          
Стандартная ошибка 4,314076          
Наблюдения          
             
Дисперсионный анализ        
df SS MS F Значимость F  
Регрессия 5815,949 5815,948851 312,4964 1,87E-11  
Остаток 279,1688 18,61125308      
Итого 6095,118        
             
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение -192,679 16,38698 -11,75805947 5,71E-09 -227,607 -157,751
lnx 54,16123 3,06384 17,67756659 1,87E-11 47,63081 60,69165
ВЫВОД ИТОГОВ          
             
Регрессионная статистика          
Множественный R 0,972099          
R-квадрат 0,944976          
Нормированный R-квадрат 0,941308          
Стандартная ошибка 0,050994          
Наблюдения          
             
Дисперсионный анализ        
df SS MS F Значимость F  
Регрессия 0,669884 0,669884 257,6084 7,44E-11  
Остаток 0,039006 0,0026      
Итого 0,70889        
             
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 3,921623 0,040959 95,74539 2,54E-22 3,834321 4,008924
x 0,002851 0,000178 16,05018 7,44E-11 0,002472 0,00323
  ВЫВОД ИТОГОВ          
             
Регрессионная статистика          
Множественный R 0,983605          
R-квадрат 0,967479          
Нормированный R-квадрат 0,965311          
Стандартная ошибка 0,039204          
Наблюдения          
             
Дисперсионный анализ        
df SS MS F Значимость F  
Регрессия 0,685836 0,685836444 446,2417 1,43E-12  
Остаток 0,023054 0,001536917      
Итого 0,70889        
             
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 1,409022 0,148914 9,46196281 1,03E-07 1,091618 1,726425
lnx 0,588151 0,027842 21,1244329 1,43E-12 0,528806 0,647495

3) Составим сводную таблицу

  R^2 F Значимость F ta tb A Э
Y на X 0,954209 312,5771 1,87E-11 10,97251 17,67985 3,40% 0,605689
Y на lnX 0,954198 446,2417 1,87E-11 -11,7581 17,67757 3,50% 0,544866
lnY на X 0,944976 257,6084 7,44E-11 95,74539 16,05018 0,04% 0,626711
lnY на lnX 0,967479 446,2417 1,43E-12 9,461963 21,12443 0,03% 0,588151
3

Сейчас читают про: