2014-02-02
1018
Теорема о продолжении меры.
Построим минимальную s - алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская s - алгебра - это минимальная s - алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины).
Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальной s - алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается.
Таким образом, продленное P(A) называется s - аддитивной мерой.
s - алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми.
Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие из s - алгебры.
Расширение поля наблюдаемых событий на s - алгебру связано с невозможностью получить основные результаты теории вероятности без понятия s - алгебры.
Вероятностным пространством называется тройка (W, s, P), где
W - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;
s - s-алгебра, заданная на W - системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;
P - s - аддитивная мера, т.е. s - аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из s - алгебры и удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятности.
1. 
. P(A) - называется вероятностью наступления события A.
2. Вероятность достоверного события равна 1 P(W)=1.
3. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей
, 
.
k - возможно бесконечное число.
Следствие:
Вероятность невозможного события равна 0.
По определению суммы имеет место неравенство W+V=W. W и V несовместные события.
По третей аксиоме теории вероятности имеем:
P(W+V)=P(Q)=P(U)=1
P(W)+P(V)=P(W)
1+P(V)=1
P(V)=1
Пусть W состоит из конечного числа элементарных событий W={E1, E2,..., Em} тогда по определению 
. Элементарные события несовместны, тогда по третей аксиоме теории вероятности имеет место 
Пусть некоторое событие AÌW состоит из k элементарных событий, тогда {Ei1, Ei2,..., Eik} 
Доказать: Если AÌB, то P(B)³P(A), B=A+C, A и C несовместны.
* Пусть B=A+C, A и B несовместны. Тогда по третей аксиоме теории вероятности P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C) т.к. 1³P(C)³0 - положительное число, то P(B)³P(A).
